コーシー指数

数学的解析において、コーシー指数は区間上の実有理関数に関連付けられた整数である。ラウス・フルヴィッツの定理により、次の解釈が得られる。

r ( x ) = p ( x ) / q ( x ) です。

実数直線上のf ( z )の根の数は、右半平面にあるf ( z )の根の数と左半平面にあるf ( z )の根の数の差である。複素多項式f ( z )は、

f ( iy ) = q ( y ) + ip ( y ) です。

また、 pの次数はqの次数よりも小さいと仮定する必要がある。^[1]

• コーシー指数は、 1837 年にオーギュスタン＝ルイ・コーシーによって有理関数rの極sに対して片側極限を使用して初めて定義されました。

${\displaystyle I_{s}r={\begin{cases}+1,&{\text{if }}\displaystyle \lim _{x\uparrow s}r(x)=-\infty \;\land \;\lim _{x\downarrow s}r(x)=+\infty ,\\-1,&{\text{if }}\displaystyle \lim _{x\uparrow s}r(x)=+\infty \;\land \;\lim _{x\downarrow s}r(x)=-\infty ,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

• コンパクトな区間 [ a , b ] 上の一般化は直接的です ( aもbもr ( x )の極でない場合)。これは、区間内に位置する各sに対するrのCauchy 指数の合計です。通常は と表記します。${\displaystyle I_{s}}$${\displaystyle I_{a}^{b}r}$
• rの極の数は有限数なので（ aとb が無限大になる場合の [ a , b ]上の Cauchy 指数の極限をとることによって） 、型の区間に一般化できます。${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$

• 有理関数を考えてみましょう:

${\displaystyle r(x)={\frac {4x^{3}-3x}{16x^{5}-20x^{3}+5x}}={\frac {p(x)}{q(x)}}.}$

p ( x ) とq ( x ) にはそれぞれ3 次と 5 次チェビシェフ多項式があることがわかります。したがって、 r ( x ) には、極、、、および があり、つまりに対してとなります。図から、およびであることがわかります。極がゼロの場合、左と右の極限が等しいため となります (これは、p ( x ) にもゼロの根があるためです)。q ( x ) には 5 つの根しかなく、すべて [−1,1] にあるためと結論付けられます。 f ( iy ) =  q ( y ) +  ip ( y )となる各複素多項式は虚数線上(つまり原点)にゼロを持つため、ここでは Routh–Hurwitz の定理は使用できません。 ${\displaystyle x_{1}=0.9511}$${\displaystyle x_{2}=0.5878}$${\displaystyle x_{3}=0}$${\displaystyle x_{4}=-0.5878}$${\displaystyle x_{5}=-0.9511}$${\displaystyle x_{j}=\cos((2i-1)\pi /2n)}$${\displaystyle j=1,...,5}$${\displaystyle I_{x_{1}}r=I_{x_{2}}r=1}$${\displaystyle I_{x_{4}}r=I_{x_{5}}r=-1}$${\displaystyle I_{x_{3}}r=0}$${\displaystyle I_{-1}^{1}r=0=I_{-\infty }^{+\infty }r}$

• コーシー指数