依存関係

数学において、依存関係は線形依存関係を一般化した2 項関係です。

を集合とします。の要素と のサブセット間の（二項）関係は依存関係と呼ばれ、次の特性を満たす場合、 と書きます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \triangleleft}$${\displaystyle a}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\triangleleftS}$

1. もしならば;${\displaystyle a\in S}$${\displaystyle a\triangleleftS}$
2. ならば、の有限部分集合が存在し、 となる 。${\displaystyle a\triangleleftS}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a\triangleleft S_{0}}$
3. がのサブセットであり、を意味する場合、を意味します。${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b\in S}$${\displaystyle b\triangleleftT}$${\displaystyle a\triangleleftS}$${\displaystyle a\triangleleftT}$
4. もし誰かがいなかっ たら、そのとき 。${\displaystyle a\triangleleftS}$${\displaystyle a\ntriangleleft S-\lbrace b\rbrace }$${\displaystyle b\in S}$${\displaystyle b\triangleleft (S-\lbrace b\rbrace )\cup \lbrace a\rbrace }$

上の依存関係 が与えられたとき、のサブセットは、すべての に対してである 場合 に独立していると言われます。の場合、 は、すべての に対して である場合に張ると言われます。が独立であり、を張る場合、の基底であると言われます。${\displaystyle \triangleleft}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\ntriangleleft S-\lbrace a\rbrace }$${\displaystyle a\in S.}$${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle t\triangleleftS}$${\displaystyle t\in T.}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

が依存関係 を持つ空でない集合である場合、 は常に に関する基底 を持ちます。さらに、 の任意の 2 つの基底は同じ濃度を持ちます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \triangleleft}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \triangleleft .}$${\displaystyle X}$

かつの場合、性質 3. および 1. を用いて となります。 ${\displaystyle a\triangleleftS}$${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle a\triangleleftT}$

• を体上のベクトル空間とします。が によって張られる部分空間内にある場合、によって定義される 関係は依存関係です。 これは線型従属の定義と同等です。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F.}$${\displaystyle \triangleleft}$${\displaystyle \upsilon \triangleleft S}$${\displaystyle \upsilon}$${\displaystyle S}$
• をの体拡大とします。がに対して代数的である場合、によって 定義されます。すると は依存関係になります。 これは、代数的依存関係の定義と同等です。${\displaystyle K}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle \triangleleft}$${\displaystyle \alpha \triangleleftS}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle F(S).}$${\displaystyle \triangleleft}$

• マトロイド

この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Dependence relationship からの資料が組み込まれています。