カトラーのバー表記

数学において、カトラーの棒グラフ表記法は、2004 年にマーク カトラーが導入した大きな数値の表記システムです。この考え方は、累乗が反復乗算であるのと同じように、反復累乗に基づいています。

正規指数は次のように表現できます。

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{b}&=&\underbrace {a_{}\times a\times \dots \times a} \\&&b{\mbox{ }}a\end{matrix のコピー}}}$

しかし、これらの式は、クヌースの上矢印表記法などのシステムを扱う場合、任意に大きくなります。次の式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{matrix}&\underbrace {a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &\\&b{\mbox{ }}a\end{matrix のコピー}}}$

カトラーのバー表記では、これらの指数を反時計回りにシフトして を形成します。この変更を示すために、変数の上にバーが配置されます。つまり、 ${\displaystyle {^{b}}{\bar {a}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{^{b}}{\bar {a}}=&\underbrace {a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &\\&b{\mbox{ }}a\end{matrix のコピー}}}$

このシステムは、通常の表記が煩雑になりすぎる場合に、複数の指数で有効になります。

${\displaystyle {\begin{matrix}^{^{b}{b}}{\bar {a}}=&\underbrace {a_{}^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &\\&{{^{b}}{\bar {a}}}{\mbox{ }}a\end{matrix のコピー}}}$

いつでも、指数をもう一度反時計回りに回転させることによって、これをさらに短縮することができます。

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {b_{}^{b^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{b}}}}}}} {\bar {a}}={_{c}}{\bar {a}}\\c{\mbox{ }}b\end{matrix のコピー}}}$

同じパターンを 4 回繰り返すと、 になります。このため、これはCutler の循環記法と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle {\bar {a}}_{d}}$

カトラー バー表記法を使用すると、指数形式で他の表記法を簡単に表現できます。また、同じ指数の複数のコピーを柔軟にまとめることもできます。積み重ねた指数を反時計回りにシフトして、1 つの変数に短縮できます。バー表記法を使用すると、非常に大きな数をかなり迅速にまとめることもできます。たとえば、その数は1グーゴルプレックスを超える桁数になりますが、書き方や記憶方法は比較的簡単です。 ${\displaystyle {\bar {10}}_{10}}$

しかし、このシステムでは、1 つの式で異なる指数を扱うときに問題が発生します。たとえば、式をバー表記で要約することはできません。さらに、指数は 3 回しかシフトできず、その後は元の位置に戻ります。そのため、5 度のシフトと 1 度のシフトを区別できません。後続の回転で二重バーや三重バーを使用することを提案する人も^いますが、これは 10 度や 20 度のシフトを扱うときに問題を引き起こします。 ${\displaystyle ^{a^{b^{b^{c}}}}}$

同じ演算に対する他の同等の表記法は、固定回数の再帰に制限されずにすでに存在しており、特にKnuth の上矢印表記法とハイパー演算表記法が有名です。

• 数学表記

• マーク・カトラー『物理的無限』2004年
• ダニエル・ガイスラー、tetration.org
• R. ノーベル。「指数関数の繰り返し。」アメリカ数学月刊誌 88、(1981)