クレモナグループ

代数幾何学において、クレモナ群は、クレモナ(1863, 1865)によって導入され、体 上の- 次元射影空間の双有理自己同型 群である。これは、 またはまたはで表記される。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))}$${\displaystyle Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))}$${\displaystyle Cr_{n}(k)}$

クレモナ群は、上の不定値における有理関数の体の自己同型群、または言い換えれば、超越次数 を持つの純粋超越拡大と自然に同一視されます。 ${\displaystyle \mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

射影変換の の位数 の射影一般線型群は、 の位数 のクレモナ群に含まれます。またはの場合にのみ、この 2 つが等しくなります。この場合、変換の分子と分母は両方とも線型でなければなりません。 ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=1}$

2次元では、マックス・ノイマンとグイド・カステルヌオーヴォは、複素クレモナ群が とともに標準の二次変換によって生成されることを示したが、その証明が正しいかどうかについては論争があり、ギザトゥリン (1983) はこれらの生成元に関する完全な関係式を示した。この群の構造はまだ十分に理解されていないが、その元や部分群を見つける研究は数多く行われてきた。 ${\displaystyle \mathrm {PGL} (3,k)}$

• Cantat & Lamy (2010) は、クレモナ群が抽象群としては単純ではないことを示しました。
• ブランは、自然な位相で閉じている非自明な正規部分群は存在しないことを示しました。
• クレモナ群の有限部分群についてはDolgachev & Iskovskikh (2009)を参照。

3 次元以上のクレモナ群の構造についてはほとんどわかっていませんが、その多くの要素は記述されています。Blanc (2010) は、それが (線形に) 連結であることを示し、Serre (2010) の質問に答えました。Hudson (1927) は、少なくとも 3 次元のクレモナ群は、固定された整数で制限された次数の要素によって生成されないことを示したため、Noether-Castelnouvo の定理の簡単な類似物はありません。

ド・ジョンキエール群は、次の形式のクレモナ群の部分群です^[要出典]。 の体拡大の超越基底を選択します。すると、ド・ジョンキエール群は、何らかの に対して部分体をそれ自身に写像する自己同型群の部分群です。この群は、体 上のの自己同型群のクレモナ群によって与えられる正規部分群を持ち、商群は体 上の のクレモナ群です。また、ファイバーバンドル の双有理自己同型群と見なすこともできます。 ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$${\displaystyle r\leq n}$${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{n-r}\to \mathbb {P} ^{r}}$

およびのとき、ド・ジョンキエール群は、与えられた点を通る直線束を固定するクレモナ変換の群であり、およびは 、およびの半直積です。 ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k)}$${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k(t))}$

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