クラマーのパラドックス

数学において、クラメールのパラドックスまたはクラメール・オイラーのパラドックス^[1]は、平面上の2つの高次曲線の交点の数が、そのような曲線1本を定義するのに通常必要な任意の点の数よりも多くなり得るという主張である。これはジュネーブの数学者ガブリエル・クラメールにちなんで名付けられている。

この現象は、交差点の数が多いにもかかわらず、どの曲線も一意に定義できない（少なくとも 2 つの異なる曲線に属している）ため、逆説的に見えます。これは、2 つの定理の素朴な理解または誤った適用の結果です。

• ベズーの定理は、特定の必要条件が満たされている場合、2 つの代数曲線の交点の数はそれらの次数の積に等しいと述べています。特に、2 つの次数曲線には通常、交点があります。${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{2}}$
• クラメールの定理は、特定の条件が満たされていると仮定して、次数の曲線が点によって決定されることを述べています。${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n+3)/2}$

すべての に対して、なので、素朴に言えば、3 次以上では、2 つの曲線の交点には、いずれかの曲線を一意に定義するのに十分な点があるように見えます。しかし、これらの点は両方の曲線に属しているため、この次数の曲線を一意に定義するわけではありません。このパラドックスの解決法は、曲線を定義するために必要な点の数の上限は、一般的な位置にある点にのみ適用されるというものです。特定の退化したケースでは、点だけでは曲線を一意に決定できません。 ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n^{2}\geq n(n+3)/2}$${\displaystyle n(n+3)/2}$${\displaystyle n(n+3)/2}$

このパラドックスは、1720年にコリン・マクローリンによって初めて発表された^{。[2] [3]}クラマーとレオンハルト・オイラーは1744年と1745年にこのパラドックスについて書簡を交わし、オイラーはクラマーに問題を説明した。^[4]これは、 1750年の著書「代数曲線線分析入門」に取り上げられて以来、クラマーのパラドックスとして知られるようになったが、クラマーはマクローリンの言葉を引用してこの発言の出典とした。^[5]ほぼ同じ頃、オイラーは9つの点で一意に定義されない3次曲線の例を発表し^{[4] [6]}、著書「無限曲線分析入門」でこの問題について論じた。この結果はジェームズ・スターリングによって公表され、ユリウス・プリュッカーによって説明された。^[1]

一次曲線（つまり、直線）の場合、パラドックスは発生しません。なぜなら、 であるためです。一般に、2 つの異なる直線は、それらの直線の傾きが等しい場合を除き、1 つの点で交差します。それらの直線の傾きが等しい場合は、それらの直線はまったく交差しません。1 つの点だけでは直線を定義するのに十分ではありません（2 つ必要です）。交差点には、指定された 2 つの直線だけでなく、無数の他の直線も通っています。 ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n^{2}=1<n(n+3)/2=2}$

2 つの非退化円錐は、実平面上で最大 4 つの有限点で交差します。これは、ベズーの定理で最大値として与えられた数とまったく同じです。ただし、非退化円錐を定義するには 5 つの点が必要なので、この場合もパラドックスは発生しません。

オイラーに宛てた手紙の中で、クレイマーは 3 次曲線とが正確に 9 点で交差することを指摘しました。^[要出典]最初の式は 3 本の垂直線、、 を定義し、同様に 2 番目の式は 3 本の水平線を定義します。これらの線は 9 点のグリッドで交差します。したがって、このような退化したケースでは 9 点では 3 次曲線を一意に決定するのに十分ではありません。 ${\displaystyle x^{3}-x=0}$${\displaystyle y^{3}-y=0}$${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$

n次二変量方程式には1 + n ( n + 3) / 2 個の係数がありますが、方程式が非ゼロ係数の 1 つで除算され、曲線を特徴付ける係数が 1 つとn ( n + 3) / 2 個だけになった場合、方程式によって記述される点の集合は保存されます。 n ( n + 3) / 2 個の点 ( x _i、y _i ) が与えられている場合、これらの各点を一般n次多項式方程式に代入して別の方程式を作成し、n ( n + 3) / 2 個の未知係数について線形なn ( n + 3) / 2 個の方程式を作成できます。このシステムが非ゼロの行列式を持つという意味で非退化である場合、未知の係数は一意に決定され、したがって多項式方程式とその曲線は一意に決定されます。しかし、この行列式がゼロである場合、システムは退化しており、点はn次曲線の複数の上にある可能性があります。

• エド・サンディファー「クレイマーのパラドックス」
• MathPages の Cramer のパラドックス
• ロバート E. ブラッドリー & リー ステムコスキ「9 つの点が 8 つの点にしかならないとき: クラマーのパラドックスに対するオイラーの解決 - オイラーからクラマーへの手紙」