費用分担の仕組み

経済学とメカニズム設計において、コスト共有メカニズムとは、複数のエージェントが公共製品またはサービスの範囲と、各エージェントがそれに対して支払うべき金額を決定するプロセスです。限界費用が一定の場合、コスト共有は簡単です。この場合、サービスを希望する各エージェントは、自分の限界費用を支払うだけです。限界費用が一定でない場合、コスト共有はより興味深いものになります。限界費用が増加すると、エージェントは互いに負の外部性を課し、限界費用が減少すると、エージェントは互いに正の外部性を課します(以下の例を参照)。コスト共有メカニズムの目的は、この外部性をエージェント間で分割することです。

製品/サービスの種類とコスト関数の種類に応じて、さまざまなコスト共有メカニズムが存在します。

この設定では、^[1]複数のエージェントが生産技術を共有します。彼らは生産量と生産コストの分担方法を決定する必要があります。技術には限界費用が増大します。つまり、生産量が増えるほど、より多くのユニットを生産することが難しくなります (つまり、コストは需要の 凸関数です)。

コスト関数の例は次のとおりです。

• 最初の 10 ユニットについては 1 ユニットあたり 1 ドル。
• 追加ユニットごとに 1 ユニットあたり 10 ドル。

したがって、需要が 3、6、10 であるエージェントが 3 人いる場合は、合計コストは 100 ドルになります。

コスト共有問題は次の関数によって定義されます。ここで、iはエージェント、Q は製品の量です。

• 需要( i ) = エージェントiが受け取りたい金額。
• コスト( Q ) =製品をQ単位生産するためのコスト。

コスト共有問題の解決策は、サービスを受けるエージェントごとに支払う金額によって定義され、合計支払額が合計コストと等しくなります。 ${\displaystyle {\text{支払い}}(i)}$

${\displaystyle \sum _{i}{\text{支払い}}(i)={\text{コスト}}{\big (}D{\big )}}$;

ここで、Dは総需要です。

${\displaystyle D:=\sum _{i}{\text{需要}}(i)}$

いくつかの費用分担の解決策が提案されています。

規制された独占企業のコスト価格設定に関する文献^{[2] [3]}では、各エージェントが平均コストを支払うと仮定するのが一般的です。つまり、

${\displaystyle {\text{支払い}}(i)={\text{費用}}(D)\cdot {\text{需要}}(i)/D}$

上記の例では、支払額は 15.8 (需要 3 の場合)、31.6 (需要 6 の場合)、52.6 (需要 10 の場合) となります。

この費用分担方法にはいくつかの利点があります。

• これは、2つのエージェントが自分たちの要求を1つのスーパーエージェントに公然と統合したり、1つのエージェントが自分たちの要求を2つのサブエージェントに公然と分割したりする操作の影響を受けません。実際、これはそのような操作の影響を受けない唯一の方法です。^{[4] [5]}
• 2 人のエージェントが秘密裏にコストと製品を相互に転送する操作の影響を受けません。
• 各エージェントは、少なくともそのエージェント自身の単独コスト、つまり他のエージェントが存在しなかった場合に支払っていたであろうコストを支払います。これは連帯の尺度です。つまり、どのエージェントも負の外部性から利益を得るべきではありません。

ただし、欠点もあります。

• エージェントは、全会一致のコスト（他のすべてのエージェントが同じ需要を持っていた場合に支払うはずだったコスト）よりも高い金額を支払う場合があります。

これは公平さの尺度です。つまり、どのエージェントも負の外部性から過度に苦しむべきではありません。上記の例では、需要 3 のエージェントは、他のすべてのエージェントが自分と同じくらい控えめであれば、負の外部性はなく、各エージェントは 1 単位あたり 1 ドルしか支払わなかったはずなので、これ以上支払う必要はない、と主張できます。

限界費用分担では、各エージェントの支払いは、そのエージェントの需要と現在の生産状態における限界費用によって決まります。

${\displaystyle {\text{支払い}}(i)={\text{需要}}(i)\cdot {\text{費用}}'(D)+{1 \over n}{\big (}{\text{費用}}(D)-D\cdot 費用'(D){\big )}}$

上記の例では、支払額は 0 (需要 3 の場合)、30 (需要 6 の場合)、70 (需要 10 の場合) です。

この方法は、エージェントが最大でも全員一致のコスト、つまり他のすべてのエージェントが同じ需要を持っていた場合に支払うはずだったコストを支払うことを保証します。

ただし、エージェントが支払う金額は、その単独コストよりも少ない場合があります。上記の例では、需要 3 のエージェントは何も支払いません (場合によっては、エージェントが負の値を支払うことさえ可能です)。

連続費用分担^[1]は、以下のプロセスの結果として説明できます。

• 時刻 0 に、すべてのエージェントが部屋に入ります。
• 機械は1分間に1ユニットの生産を開始します。
• 生産されたユニットとそのコストは、部屋内のすべてのエージェント間で均等に分割されます。
• エージェントは自分の要求が満たされたと感じたら、部屋から退出します。

したがって、エージェントを需要の昇順で並べると次のようになります。

• エージェント 1 (需要が最も低い) は以下を支払います。

${\displaystyle {Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}}$;

• エージェント2は以下を支払います:

${\displaystyle {Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}}$プラス ;${\displaystyle {コスト({\text{需要}}(1)+(n-1){\text{需要}}(2))-コスト(n\cdot {\text{需要}}(1)) \over n-1}}$

等々。

この方法は、各エージェントが少なくともその単独コストを支払い、最大でその全員一致コストを支払うことを保証します。

ただし、エージェントの分割や統合、エージェント間の入力と出力の転送の影響を受けないわけではありません。したがって、このような転送が不可能な場合にのみ意味を持ちます (たとえば、ケーブル TV や電話サービスの場合)。

この設定では、^[6] バイナリサービスが存在します。つまり、各エージェントはサービスを受けるか受けないかのどちらかです。より多くのエージェントにサービスを提供するとサービスのコストは高くなりますが、各エージェントに個別にサービスを提供する場合よりも限界費用は小さくなります（つまり、コストはサブモジュラ集合関数です）。典型的な例として、水源の近くに住む 2 人のエージェント、アリスとジョージを考えてみましょう。彼らの距離は次のとおりです。

• ソース-アリス: 8 km
• ソースジョージ：7 km
• アリスジョージ：2 km

水道管 1 キロメートルあたりのコストが 1,000 ドルだとします。次のような選択肢があります。

• 誰も接続されていないので、コストは 0 です。
• ジョージだけが接続されています。費用は 7000 ドルです。
• アリスだけが接続されており、コストは 8000 ドルです。
• Alice と George は両方とも接続されています。パイプは Source から George へ、そして Alice へ向かうことができるため、コストは 9000 ドルです。これは George と Alice のコストの合計よりもはるかに安いことに注意してください。

これら 4 つのオプションの選択は、エージェントの評価、つまり各エージェントが水源への接続に対していくら支払う意思があるか によって決まります。

目標は、エージェントが本当の支払い意思を明らかにするように誘導する 真実のメカニズムを見つけることです。

コスト共有問題は次の関数によって定義されます。ここで、iはエージェント、S はエージェントのサブセットです。

• 価値( i ) = エージェントiがサービスを享受するために支払ってもよいと考える金額。
• Cost( S ) = S内のすべてのエージェントのみにサービスを提供するコスト。たとえば、上記の例では、Cost({Alice,George})=9000 です。

コスト共有問題の解決策は次のように定義されます。

• サービスを受けるべきエージェントのサブセットS。
• サービスを受けるエージェントごとに支払われる金額。${\displaystyle {\text{支払い}}(i)}$

ソリューションは次のような特徴があります。

• 解決策の予算余剰は、総支払額から総費用を差し引いたものです。予算均衡、つまり余剰がちょうど 0 になることが望まれます。${\displaystyle 余剰:=\sum _{i\in S}{\text{支払い}}(i)-{\text{費用}}(S)}$
• 解決策の社会的福祉は、総効用から総コストを引いたものです。効率、つまり社会的福祉が最大化されることが望まれます。${\displaystyle 福祉:=\sum _{i\in S}{\text{価値}}(i)-{\text{コスト}}(S)}$

真実性、予算の均衡、効率性を同時に達成することは不可能です。そのため、真実性メカニズムには 2 つのクラスがあります。

予算均衡のとれたコスト共有メカニズムは、関数Payment( i , S )によって定義できます。これは、サービスを受けるエージェントのサブセットがSである場合にエージェントi が支払う必要がある支払いです。この関数は、次の 2 つのプロパティを満たす必要があります。

• 予算均衡: 任意のサブセットによる総支払額は、このサブセットにサービスを提供する総コストに等しくなります。したがって、単一のエージェントにサービスが提供される場合、そのエージェントは自分のコストをすべて支払う必要がありますが、2 つ以上のエージェントにサービスが提供される場合、サブモジュラリティにより、各エージェントは個々のコストよりも少ない金額を支払う可能性があります。${\displaystyle \forall S:\sum _{i\in S}{\text{支払い}}(i,S)={\text{費用}}(S)}$
• 人口単調性: サービスを受けるエージェントのサブセットが縮小すると、エージェントの支払いは弱く増加します。${\displaystyle T\supseteq S\implies {\text{支払い}}(i,T)\leq {\text{支払い}}(i,S)}$

このような関数に対して、サブモジュラコストを伴うコストシェアリング問題は、次のタトネメントプロセスによって解くことができる。^[6]

1. まず、S をすべてのエージェントの集合とします。
2. 各エージェントi にPayment( i , S ) を支払う必要があることを伝えます。
3. 価格を支払う意思のないエージェントはそれぞれSを離れます。
4. いずれかのエージェントがS を離れた場合は、手順 2 に戻ります。
5. それ以外の場合は、 Sに残っているエージェントを終了してサービスします。

人口単調性により、人々がS を離れると価格が必ず上昇することに注意してください。したがって、エージェントはSに戻りたいとは思わないため、このメカニズムは誠実です（プロセスは英国式オークションに似ています）。誠実さに加えて、このメカニズムには次の利点があります。

• グループ戦略耐性- エージェントのグループは、虚偽の報告をすることで利益を得ることはできません。
• 積極的な移転はありません。代理人はサービスを受けるために金銭を支払われません。
• 個人の合理性- 参加によって価値を失うエージェントはいない (特に、サービスを受けていないエージェントは何も支払わず、サービスを受けているエージェントは最大で自分の評価額を支払う)。
• 消費者主権- 支払い意思が十分に大きい場合、すべての主体はサービスを受けることを選択できます。

さらに、適切な支払い関数を用いることで、予算均衡、非正の移転、個人の合理性、消費者主権、集団戦略耐性を満たすあらゆるメカニズムを導き出すことができる。 ^{[6] ：命題1}

メカニズムは、公平性や効率性などの目標を達成するために支払い機能を選択できます。エージェントが同等の事前権利を持っている場合、いくつかの合理的な支払い機能は次のとおりです。

• Shapley値、たとえば 2 人のエージェントの場合、両方のエージェントにサービスが提供されたときの支払いは次のようになります: Payment(Alice、Both) = [Cost(Both)+Cost(Alice)-Cost(George)]/2、Payment(George、Both) = [Cost(Both)+Cost(George)-Cost(Alice)]/2。
• 平等主義的解決法^[7]、例えば、Payment(Alice,Both) = median[Cost(Alice), Cost(Both)/2, Cost(Both)-Cost(George)]、Payment(George,Both) = median[Cost(George), Cost(Both)/2, Cost(Both)-Cost(Alice)]。
• エージェントが異なる権利を持っている場合（たとえば、一部のエージェントが他のエージェントよりも上級である場合）、最上級のエージェントに限界費用のみを請求することができます。たとえば、ジョージが上級である場合、ジョージを含まないすべてのサブセット S について、支払い（ジョージ、S + ジョージ） = コスト（S + ジョージ）−コスト（S）となります。同様に、次に上級のエージェントは、残りの限界費用を支払うことができます。

上記の費用分担の仕組みは効率的ではない。必ずしも社会福祉が最も高い配分が選択されるわけではない。しかし、支払い関数がシャプレー値に選択されると、福祉の損失は最小限に抑えられる。^{[6] : 命題2}

コスト共有メカニズムの別のクラスは、VCG メカニズムです。VCG メカニズムは常に社会的に最適な割り当て、つまりサービスを受けるエージェントの総効用からサービスにかかるコストを差し引いたものを最大化する割り当てを選択します。次に、各エージェントは他のエージェントの福祉を受け取り、他のエージェントの評価のみに依存する金額を支払います。さらに、すべての VCG メカニズムは消費者主権の特性を満たしています。

非正の移転と個人の合理性の要件も満たす単一のVCGメカニズムが存在します。それは限界費用価格設定メカニズムです。^{[6] ：命題3}これは、サービスを受けていない各エージェントが何も支払わず、サービスを受けている各エージェントが支払う特別なVCGメカニズムです。

${\displaystyle 給与(i)=価値(i)-[福祉(全)-福祉(全\setminus \{i\})]}$

つまり、各エージェントは自分の価値を支払いますが、自分の存在によって追加された福祉を受け取ります。したがって、エージェントの利益は社会の利益と一致しており（社会福祉の最大化）、メカニズムは真実です。

このメカニズムの問題は、予算が均衡していない、つまり赤字であることです。上記の水道管の例で、アリスとジョージの両方がサービスを 10,000 ドルと評価しているとします。アリスだけにサービスが提供される場合、福祉は 10,000 - 8,000 = 2,000 です。ジョージだけにサービスが提供される場合、福祉は 10,000 - 7,000 = 3,000 です。両方にサービスが提供される場合、福祉は 10,000 + 10,000 - 9,000 = 11,000 です。したがって、限界費用価格設定メカニズムは両方のエージェントにサービスを提供することを選択します。ジョージは 10,000 - (11,000 - 2,000) = 1,000 を支払い、アリスは 10,000 - (11,000 - 3,000) = 2,000 を支払います。合計支払額は 3,000 のみで、合計コストの 9,000 を下回ります。

さらに、VCGメカニズムはグループ戦略耐性がありません。エージェントは自分自身に害を与えることなく、評価を高めることで他のエージェントを助けることができます。^[6]

• 相乗り- 費用分担のアプリケーション。
• シャプレー値- 費用分担の可能なルール。
• 公共財
• 施設の場所（協力ゲーム）
• 余剰金の分配