フィン（拡張面）

熱伝達の研究では、フィンは物体から伸びる表面で、対流を増加させることで環境への熱伝達率や環境からの熱伝達率を高めます。物体の伝導、対流、放射の量によって、伝達される熱量が決まります。物体と環境の間の温度勾配を大きくしたり、対流熱伝達係数を大きくしたり、物体の表面積を大きくしたりすると、熱伝達は増加します。最初の 2 つのオプションを変更することは、実行不可能または経済的でない場合があります。したがって、物体にフィンを追加すると表面積が大きくなり、熱伝達の問題に対する経済的な解決策になる場合があります。

一体型フィン付きヒートシンクは、押し出し、鋳造、スカイビング、​​またはフライス加工によって製造されます。

フィンの熱伝達に関する扱いやすい方程式を作成するには、多くの仮定を行う必要があります。

1. 定常状態
2. 一定の材料特性（温度に依存しない）
3. 内部発熱なし
4. 一次元伝導
5. 均一な断面積
6. 表面積全体にわたる均一な対流

これらの仮定のもと、エネルギー保存則を用いてフィンの微分断面積のエネルギーバランスを作成することができる。^[1]

${\displaystyle {\dot {Q}}(x+dx)={\dot {Q}}(x)+d{\dot {Q}}_{conv}.}$

フーリエの法則によれば

${\displaystyle {\dot {Q}}(x)=-kA_{c}\left({\frac {dT}{dx}}\right),}$

ここで、は微分要素の断面積である。さらに、対流熱流束は熱伝達係数hの定義によって決定することができる。 ${\displaystyle A_{c}}$

${\displaystyle q''=h\left(T-T_{\infty }\right),}$

ここで、は周囲の温度です。対流熱流束差はフィンの断面積Pの周囲長から決定できます。 ${\displaystyle T_{\infty}}$

${\displaystyle d{\dot {Q}}_{conv}=Ph\left(T-T_{\infty }\right)dx.}$

エネルギー保存の式は温度で表現できる。

${\displaystyle -kA_{c}\left.\left({\frac {dT}{dx}}\right)\right\vert _{x+dx}=-kA_{c}\left.\left({\frac {dT}{dx}}\right)\right\vert _{x}+Ph\left(T-T_{\infty }\right)dx.}$

この式を整理し、導関数の定義を用いると、温度に関する次の微分方程式が得られる。

${\displaystyle k{\frac {d}{dx}}\left(A_{c}{\frac {dT}{dx}}\right)-Ph\left(T-T_{\infty }\right)=0}$;

左辺の導関数はフィン方程式の最も一般的な形に展開できる。

${\displaystyle kA_{c}{\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}+k{\frac {dA_{c}}{dx}}{\frac {dT}{dx}}-Ph\left(T-T_{\infty }\right)=0.}$

断面積、周囲長、温度はすべて x の関数になります。

フィンの断面積が長さに沿って一定であれば、面積と周囲長は一定となり、温度の微分方程式は次のように大幅に簡略化される。

${\displaystyle {\frac {d^{2}T}{dx^{2}}}={\frac {hP}{kA_{c}}}\left(T-T_{\infty }\right).}$

ここで、 および です。定数および は、適切な境界条件を適用することで見つけることができます。 ${\displaystyle m^{2}={\frac {hP}{kA_{c}}}}$${\displaystyle \theta (x)=T(x)-T_{\infty}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

フィンのベースは通常、一定の基準温度 に設定されます。ただし、フィンの先端 ( ) には、先端が対流熱伝達にさらされる、断熱される、一定温度に保たれる、またはベースから離れて周囲温度に達する、という 4 つの一般的な状態が考えられます。 ${\displaystyle \theta _{b}(x=0)=T_{b}-T_{\infty}}$${\displaystyle x=L}$

最初のケースでは、2番目の境界条件は先端に自由対流があることです。したがって、

${\displaystyle hA_{c}\left(T(L)-T_{\infty }\right)=-kA_{c}\left.\left({\frac {dT}{dx}}\right)\right\vert _{x=L},}$

これは次のように単純化される

${\displaystyle h\theta (L)=-k\left.{\frac {d\theta }{dx}}\right\vert _{x=L}.}$

2つの境界条件を組み合わせると、

${\displaystyle h\left(C_{1}e^{mL}+C_{2}e^{-mL}\right)=km\left(C_{2}e^{-mL}-C_{1}e^{mL}\right).}$

この方程式を定数について解くと、温度分布がわかります。温度分布は以下の表のようになります。 ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

同様のアプローチで、残りのケースの積分定数を求めることができます。2番目のケースでは、先端は断熱されている、つまり熱流束がゼロであると仮定します。したがって、

${\displaystyle \left.{\frac {d\theta }{dx}}\right\vert _{x=L}=0.}$

3 番目のケースでは、先端の温度は一定に保たれます。したがって、境界条件は次のようになります。

${\displaystyle \theta (L)=\theta _{L}}$

4 番目で最後のケースでは、フィンは無限に長いと仮定されます。したがって、境界条件は次のようになります。

${\displaystyle \lim _{L\rightarrow \infty }\theta _{L}=0\,}$

最後に、フィンの根元での温度分布とフーリエの法則を使用して、全体的な熱伝達率を決定します。

${\displaystyle {\dot {Q}}_{\text{total}}={\sqrt {hPkA_{c}}}(C_{2}-C_{1}).}$

解決プロセスの結果は、以下の表にまとめられています。

フィンの性能は 3 つの異なる方法で説明できます。1 つ目はフィンの有効性です。これは、フィンの熱伝達率 ( ) と、フィンがない場合の物体の熱伝達率の比率です。この式は次のとおりです。 ${\displaystyle {\dot {Q}}_{f}}$

${\displaystyle \epsilon _{f}={\frac {{\dot {Q}}_{f}}{hA_{c,b}\theta _{b}}},}$

ここで、フィンの断面積はベースにあります。フィンの性能はフィン効率によっても特徴付けられます。これは、フィン全体がベース温度にある場合のフィンの熱伝達率に対するフィンの熱伝達率の比です。 ${\displaystyle A_{c,b}}$

${\displaystyle \eta _{f}={\frac {{\dot {Q}}_{f}}{hA_{f}\theta _{b}}}.}$

${\displaystyle A_{f}}$この式の はフィンの表面積に等しくなります。フィン全体の温度がベース温度にあると仮定すると熱伝達率が増加するため、フィン効率は常に 1 未満になります。

フィンの性能を表す3つ目の方法は、全体の表面効率です。

${\displaystyle \eta _{o}={\frac {{\dot {Q}}_{t}}{hA_{t}\theta _{b}}},}$

ここで、は総面積、はフィンのないベース領域とすべてのフィンからの熱伝達の合計です。 これはフィンの配列の効率です。 ${\displaystyle A_{t}}$${\displaystyle {\dot {Q}}_{t}}$

• 
  低効率冷却フィン付きアルミニウムヒートシンク
• 
  高効率冷却フィンを備えたアルミニウムヒートシンク。

オープンキャビティは、隣接するフィンの間に形成される領域として定義され、核沸騰または凝縮の重要な促進因子を表します。これらのキャビティは通常、さまざまな発熱体から熱を抽出するために使用されます。2004年から現在まで、多くの研究者がキャビティの最適な設計を模索してきました。^[2]

ひれは、自動車のラジエーター、コンピュータのCPU ヒートシンク、発電所の熱交換器などの熱交換装置に最もよく使用されます。^{[3] [4]また、}水素燃料電池などの新しい技術にも使用されています。^{[5]自然界でもひれの現象が利用されており、}ジャックウサギやフェネックギツネの耳はひれとして機能し、そこを流れる血液から熱を放出します。^[6]

• インクロペラ、フランク、デウィット、デビッド P.、バーグマン、セオドア L.、ラヴィーン、アドリアン S. (2007)。熱と質量伝達の基礎(第 6 版)。ニューヨーク: ジョン ワイリー & サンズ。pp. 2–168。ISBN 978-0-471-45728-2。