回転自由度を持つ20個の八面体の複合体

回転の自由度を持つ 20 個の八面体の複合体は、均一な多面体複合体です。これは、三角形の逆柱と見なされる20 個の八面体の対称的な配置で構成されています。これは、10 個の八面体の複合体UC _{16のコピーを 2 つ重ね合わせ、結果として得られる八面体のペアごとに、ペア内の各八面体を等しく反対の角度}θで回転させることによって構築できます。

θが0度または60度のとき、八面体はペアで一致し、それぞれ10個の八面体UC ₁₆とUC ₁₅の化合物（2つの重ね合わせたコピー）が生成されます。

${\displaystyle \theta =2\tan ^{-1}\left({\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(13-4{\sqrt {10}}\right)}}\right)\approx 37.76124^{\circ },}$

八面体（異なる回転軸を持つ）が4つ重なり、5つの八面体の複合体となる。

${\displaystyle \theta =2\tan ^{-1}\left({\frac {-4{\sqrt {3}}-2{\sqrt {15}}+{\sqrt {132+60{\sqrt {5}}}}}{4+{\sqrt {2}}+2{\sqrt {5}}+{\sqrt {10}}}}\right)\approx 14.33033^{\circ },}$

頂点はペアで一致し、20 個の八面体の複合体(回転の自由度なし) が生成されます。

この化合物の頂点の 直交座標は、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle {\Big (}\pm 2{\sqrt {3}}\sin \theta ,\,\pm (\tau ^{-1}{\sqrt {2}}+2\tau \cos \theta ),\,\pm (\tau {\sqrt {2}}-2\tau ^{-1}\cos \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm ({\sqrt {2}}-\tau ^{2}\cos \theta +\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\tau -1)\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\tau ^{-2}\cos \theta -\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm (\tau ^{-1}{\sqrt {2}}-\tau \cos \theta -\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\tau {\sqrt {2}}+\tau ^{-1}\cos \theta +\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm (-\tau ^{-1}{\sqrt {2}}+\タウ \cos \theta -\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (\tau {\sqrt {2}}+\tau ^{-1}\cos \theta -\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm (3\cos \theta +{\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\\&\scriptstyle {\Big (}\pm (-{\sqrt {2}}+\tau ^{2}\cos \theta +\tau ^{-1}{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+(2\tau -1)\cos \theta -{\sqrt {3}}\sin \theta ),\,\pm ({\sqrt {2}}+\tau ^{-2}\cos \theta +\tau {\sqrt {3}}\sin \theta ){\Big )}\end{aligned}}}$

ここで、τ = (1 +  √ 5 )/2 は黄金比（  φと表記されることもある）です。

• 回転自由度を持つ20個の八面体の化合物
• 
  θ = 0°
• 
  θ = 5°
• 
  θ = 10°
• 
  θ = 15°
• 
  θ = 20°
• 
  θ = 25°
• 
  θ = 30°
• 
  θ = 35°
• 
  θ = 40°
• 
  θ = 45°
• 
  θ = 50°
• 
  θ = 55°
• 
  θ = 60°

• スキルリング、ジョン (1976)、「均一多面体の均一な化合物」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、79 (3): 447–457、doi :10.1017/S0305004100052440、MR  0397554。