クラークソンの不等式

数学において、ジェイムズ・A・クラークソンにちなんで名付けられたクラークソンの不等式は、 L ^p空間の理論の結果である。これは、L ^p内の2 つの測定可能な関数の和と差のL ^pノルムの境界を、それらの関数の個別のL ^pノルムによって与える。

( X , Σ,  μ )を測度空間とし、f​​ ,  g  :  X  →  RをL ^p内の測度関数とする。すると、 2 ≤  p  < +∞ に対して、

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}+\left\|{\frac {fg}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p}+\|g\|_{L^{p}}^{p}\right).}$

1 <  p  < 2の場合、

${\displaystyle \left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}+\left\|{\frac {fg}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}},}$

どこ

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,}$

つまり、q  =  p  ⁄ ( p  − 1 )です。

• クラークソン、ジェームズ A. (1936)、「一様凸空間」、アメリカ数学会誌、40 (3): 396–414、doi : 10.2307/1989630、JSTOR  1989630、MR  1501880。
• Hanner、Olof (1956)、「 L ^pおよびℓ ^pの一様な凸面について」、Arkiv för Matematik、3 (3): 239–244、Bibcode :1956ArM....3..239H、doi : 10.1007/ BF02589410、MR  0077087。
• フリードリヒス、KO (1970)、「クラークソンの不等式について」、純粋および応用数学に関する通信、23 (4): 603–607、doi :10.1002/cpa.3160230405、MR  0264372。

• PlanetMathのクラークソン不等式。