クラークの方程式

燃焼において、クラーク方程式は3次非線形偏微分方程式であり、 1978年にジョン・フレデリック・クラークによって初めて導かれた。 ^{[1] [2] [3] [4]}この方程式は、定積・定圧過程の影響と断熱音速と等温音速の影響を含む熱爆発過程を記述する。^[5]この方程式は次のように表される。^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left({\frac {\partial \theta }{\partial t}}-\gamma \delta e^{\theta }\right)=\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \theta }{\partial t}}-\delta e^{\theta }\right)}$

あるいは^[7]

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right){\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\left(\gamma {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)\delta e^{\theta }}$

ここで、は無次元温度摂動、は比熱比 、は関連するダムケーラー数です。 項 は定圧での熱爆発を表し、 項 は定積での熱爆発を表します。同様に、 項 は断熱音速での波の伝播を表し、 項 は等温音速での波の伝播を表します。分子輸送は導出では無視されます。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \gamma >1}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \partial \theta /\partial te^{\theta }}$${\displaystyle \partial \theta /\partial t-\gamma e^{\theta }}$${\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}-\nabla ^{2}}$${\displaystyle \gamma \partial ^{2}/\partial t^{2}-\nabla ^{2}}$

パラメータは変換によって方程式から削除できるように見えるかもしれませんが、初期条件と境界条件にも現れる可能性がある ため、ここでは保持されます。${\displaystyle \delta}$${\displaystyle (x,t)\to (\delta x,\delta t)}$${\displaystyle \delta}$

放射状に対称な高温源が反応混合物中に瞬間的に沈着すると仮定する。化学時間が音響時間に匹敵する場合、拡散は無視され、着火は化学エネルギーによる熱放出と膨張波による冷却によって特徴付けられる。この問題は、 のクラーク方程式によって支配され、ここでは最大初期温度、は温度、はフランク・カメネツキー温度（は気体定数、は活性化エネルギー）である。さらに、 は中心からの距離（初期の高温コアサイズの単位で測定）を表し、 は音響時間の単位で測定された時間を表すものとする。この場合、初期条件と境界条件は^{[6]で与えられる。}${\displaystyle \theta =(T_{m}-T)/\varepsilon T_{m}}$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \varepsilon T_{m}\equiv RT_{m}^{2}/E\ll T_{m}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle t=0:\,-\theta =r^{2},\quad r=0:\,{\frac {\partial \theta }{\partial r}}=0,\quad r\gg 1:\,-\theta =r^{2}+(j+1){\frac {\gamma -1}{\gamma }}t^{2},}$

ここで、それぞれ平面、円筒、球面の問題に対応する。新しい変数を定義する。 ${\displaystyle j=(0,1,2)}$

${\displaystyle \varphi (r,t)=\theta +r^{2}+(j+1){\frac {\gamma -1}{\gamma }}t^{2}}$

これは遠い値からの の増分である。そして、小さな時間では、漸近解は次のように与えられる。${\displaystyle \theta (r,t)}$

${\displaystyle \varphi =\gamma \delta te^{-r^{2}}+{\frac {1}{2}}(\gamma \delta t)^{2}e^{-2r^{2 }}+\cdots }$

時間が経つにつれて、 のときに定常状態に近づき、 のときに熱爆発が起こることがわかります。ここで はフランク・カメネツキーパラメータです。 のとき、平面の場合、 、円筒形の場合、 、球形の場合です。 の場合、最初の近似解は次のように与えられます。 ${\displaystyle \delta \leq \delta _{c}}$${\displaystyle \delta >\delta _{c}}$${\displaystyle \delta_{c}}$${\displaystyle \gamma =1.4}$${\displaystyle \delta _{c}=0.50340}$${\displaystyle \delta _{c}=0.73583}$${\displaystyle \delta _{c}=0.91448}$${\displaystyle \delta \gg \delta _{c}}$

${\displaystyle \varphi =-\ln(1-\gamma \delta te^{-r^{2}})}$

これは、熱爆発が で発生することを示しています。ここで、 は点火時間です。 ${\displaystyle t=t_{i}\equiv 1/(\gamma \delta )}$${\displaystyle t_{i}}$

反応項の一般形は次のように書ける。

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right){\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\left(\gamma {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)\delta \omega (\theta )}$

ここで、反応項を表す任意の関数です。 ${\displaystyle \omega (\theta )}$

• フランク＝カメネツキー理論