ブダンの定理

数学において、ブダンの定理は、ある区間における多項式の実根の数を制限し、その数の偶奇性を計算する定理である。この定理は1807年にフランソワ・ブダン・ド・ボワローランによって発表された。

同様の定理は、 1820年にジョセフ・フーリエによって独自に発表された。これらの定理はそれぞれ、互いの系である。フーリエの定理は19世紀の文献に多く登場し、フーリエの定理、ブーダン＝フーリエの定理、フーリエ＝ブーダンの定理、さらにはブーダンの定理とも呼ばれている。

ブダンのオリジナルの定式化は、多項式の実根を分離するための高速な現代アルゴリズムで使用されている。

符号のバリエーション

させて $c_{0},c_{1},c_{2},\ldots c_{k}$ は有限の実数列とする。数列における符号変化とは、 $i$ $<$ $jの添え字のペアで、$ $c_{i}c_{j}<0,$ そして $j = i + 1$ または $c_{k}=0$ $i$ $<$ $k$ $<$ $j$ を満たすすべての $k$ について。

言い換えれば、ゼロを無視した場合、符号が変化する箇所ごとに、数列に符号の変化が生じる。

多項式の実根を調べるには、いくつかの数列の符号変化の数を用いることができる。ブダンの定理では、係数の数列がそれにあたる。フーリエの定理では、ある点における連続する導関数の値の数列がそれにあたる。シュトゥルムの定理では、シュトゥルム数列のある点における値の数列がそれにあたる。

デカルトの記号の法則

この記事で述べられているすべての結果は、デカルトの記号法則に基づいています。

$p (x)$ が実数係数を持つ単変数多項式である場合、 $# + (p)$ をその正の実根の数（重複度を考慮して数える）^{[ 1 ]}、 $v (p)$ をその係数列の符号変化の数とします。デカルトの符号規則は、

v (p) - # + (p)

は非負の偶数です。

特に、 $v (p) \leq 1$ の場合、 $# + (p) = v (p)$ となります。

ブダンの声明

実数係数を持つ単変数多項式 $p (x)$ が与えられたとき、半開区間 $($ $ℓ$ $,$ $r$ ^] $($ $ℓ$ ^< $r$ は $実数$ $)$ における $p$ の重複度を含めた実根の数を $# ($ $ℓ$ $,$ ^r $]$ $($ $p$ ) で表す。また、多項式 $p$ $h$ $($ $x$ $) =$ $p$ $($ $x$ $+$ $h$ $)$ の係数列の符号変化の数を $v$ $h$ $($ $p$ $)$ で表す。特に、前節の表記法では $v$ $($ $p$ $)$ $=$ $v$ $0$ $($ $p$ $)となる。$

ブダンの定理は以下の通りである。

v_{\ell }(p)-v_{r}(p)-\#_{(\ell ,r]}

は非負の偶数です。

として $\#_{(\ell ,r]}$ は非負であり、これは $v_{\ell }(p)\geq v_{r}(p).$

$これはデカルトの符号法則の一般化であり、 r を$ 十分に大きく選べば、 $p$ のすべての実根よりも大きくなり、すべての係数よりも大きくなります。 $p_{r}(x)$ 正の値である、つまり $v_{r}(p)=0.$ したがって $v_{0}(p)=v_{0}(p)-v_{r}(p),$ そして $\#_{+}=\#_{(0,r)},$ これは、デカルトの符号法則がブダンの定理の特殊な場合であることを意味する。

デカルトの記号の法則に関しては、 $v_{\ell }(p)-v_{r}(p)\leq 1,$ 1つは $\#_{(\ell ,r]}=v_{\ell }(p)-v_{r}(p).$ これはつまり、もし $\displaystyle v_{\ell }(p)-v_{r}(p)\leq 1$ 1つは「ゼロ根検定」、もう1つは「1根検定」である。

例

1. 多項式が与えられた場合 $p(x)=x^{3}-7x+7,$ そしてオープンインターバル $(0,2)$ 1つは

{\begin{aligned}p(x+0)&=p(x)=x^{3}-7x+7\\p(x+2)&=(x+2)^{3}-7(x+2)+7=x^{3}+6x^{2}+5x+1\end{aligned}}.

したがって、 $v_{0}(p)-v_{2}(p)=2-0=2,$ そしてブダンの定理は多項式が $p(x)$ 開区間内に2つまたは0個の実根を持つ $(0,2).$

2. 同じ多項式で $p(x)=x^{3}-7x+7$ 1つは

p(x+1)=(x+1)^{3}-7(x+1)+7=x^{3}+3x^{2}-4x+1.

したがって、 $v_{0}(p)-v_{1}(p)=2-2=0,$ そしてブダンの定理は多項式が $p(x)$ 開区間内に実根を持たない $(0,1).$ これは、ブダンの定理を零根判定法として用いた例である。

フーリエの声明

フーリエの多項式の実根に関する定理（フーリエ・ブダン定理またはブダン・フーリエ定理（単にブダン定理と呼ばれることもある）とも呼ばれる）は、 $h = l$ および $rの場合、$ $p (x + h)$ の係数の列が $h$ における $p$ の導関数の列に置き換えられる点を除いて、ブダン定理とまったく同じである。

各定理は互いに系として成り立つ。これはテイラー展開の結果である。

p(x)=\sum _{i=0}^{\deg p}{\frac {p^{(i)}(h)}{i!}}(x-h)^{i}

$h$ における多項式 $pの係数は、$ $p$ $($ $x$ $+$ $h$ $)$ の $x$ $i$ の係数が商であることを意味します。 $p^{(i)}(h)$ $i!$ は正の数です。したがって、フーリエの定理とブダンの定理で考慮される数列は、同じ数の符号変化を持ちます。

この2つの定理の強い関連性は、19世紀に起こった優先権論争や、同じ定理に複数の名称が用いられた理由を説明できるかもしれない。現代のコンピュータ計算においては、階乗因子が存在するため、フーリエの定理における数列の係数はブダンの定理における係数よりもはるかに大きいため、一般的にはブダンの定理が好まれる。

証拠

各定理は互いに系として成り立つため、フーリエの定理を証明すれば十分である。

証拠：

させて $n$ の度合いは $f$ 、となることによって $f,f',...,f^{(n-1)}$ 非定数多項式であり、 $f^{(n)}$ はゼロでない定数であり、 $f^{(n+1)},...$ 全て同じゼロです。

関数として $t,$ 符号の変動 $v_{t}(f)$ 少なくとも１つの根元でのみ変化することができる $f,f',...,f^{(n-1)}.$

もし $v_{t}(f)$ 変動する $t=r$ そして、いくつかの $k$ 、 $f^{(k)}(x)$ 根は $t$ 、そしてそれぞれ $f,f',...,f^{(k-1)}$ ルートがありません $t$ 。

もし $k=0$ 、それから $f(x)=(x-r)^{s}p(x-r)$ 一部の人にとって $s\geq 1$ そしていくつかの多項式 $p$ 満たす $p(0)\neq 0$ 明示的に計算することによって $f,f',...,f^{(n)}$ で $r$ そして $r-\epsilon$ 小さな $\epsilon$ 、我々は持っています $v_{r}(f)=v_{r-\epsilon }(f)-s-2s',\quad \exists s'\geq 0.$

この方程式では、項 $-s$ の兆候による $f,f',...,f^{(s)}$ 変更 $(-1)^{s}\operatorname {sign} (p(0)),(-1)^{s-1}\operatorname {sign} (p(0)),...,-\operatorname {sign} (p(0)),\operatorname {sign} (p(0))$ に $0,0,...,0,\operatorname {sign} (p(0))$ 。用語 $-2s',\quad \exists s'\geq 0$ これは、高次の導関数の符号がゼロになる可能性があるためです。

もし $k\geq 1$ すると、いくつかの導関数はゼロになるので $r$ しかし両方とも $f^{(k-1)}(x)$ そして $f^{(n)}(x)$ ゼロ以外のままであれば、偶数回の符号変化のみが失われます。

$v_{r}(f)=v_{r-\epsilon }(f)-2s',\quad \exists s'\geq 0$

もし $v_{t}(f)$ 変動する $t=l$ 同様の議論により、どちらの場合も、小さな $\epsilon$ そのため $v_{l+\epsilon }(f)=v_{l}(f)$ 。

歴史

多項式の実根を数え、その位置を特定するという問題は、19世紀初頭になってようやく体系的に研究され始めた。

1807年、フランソワ・ブダン・ド・ボワローランは、区間 $(0, +\infty)で有効な$ デカルトの符号法則を任意の区間に拡張する方法を発見した。 ^[²^]

ジョセフ・フーリエは1820年に同様の定理を発表し^{[ 3 ]} 、 20年以上研究を続けた^{[ 4 ] 。}

2 つの定理の類似性から優先権論争が起こったが、2 つの定理は独立して発見された。^{[ 5 ]}^[⁶^]^[⁴^] 19 世紀の方程式論の教科書では、一般的にフーリエの定式化と証明が使用されていた。

19世紀に使用

ブダンの定理とフーリエの定理は、区間内の多項式の実根の数を数えるという問題を完全に解決するものではなかったものの、すぐに非常に重要なものとみなされるようになった。この問題は1827年にシュトゥルムによって完全に解決された。

シュトゥルムの定理はデカルトの符号法則に基づいているわけではないが、シュトゥルムの定理とフーリエの定理は、数列の符号変化の数を用いるという点だけでなく、問題へのアプローチが似ているという点でも関連している。シュトゥルム自身もフーリエの方法に触発されたことを認めている。[ ^{7 ] 「}彼が提示した原理に依拠し、彼の証明を模倣することによって 、これから提示する新しい定理を発見した。」

このため、19世紀には、フーリエの定理とシュトゥルムの定理は、方程式論に関するほとんどすべての書籍に一緒に掲載されていた。

フーリエとブダンは、最終的に符号変化の数の差が最大でも 1 になり、最終的な区間には最大でも 1 つの根が含まれることを保証できるように、根を探す区間のサイズを縮小するという問題を未解決のまま残しました。この問題は 1834 年にアレクサンドルジョゼフイドルフヴァンサンによって解決されました。^{[ 8 ]}大まかに言うと、ヴァンサンの定理は、変数のブダンの線形変換をメビウス変換に置き換えるために連分数を使用することから成ります。

ブダンの定理、フーリエの定理、ヴィンセントの定理は19世紀末に忘れ去られてしまった。20世紀後半以前にこれらの定理に言及した最後の著者はジョセフ・アルフレッド・セレである。^{[ 9 ]}これらの定理は1976年にコリンズとアクリタスによって再び紹介され、コンピュータ代数においてコンピュータ上で実根を分離するための効率的なアルゴリズムを提供するようになった。^{[ 10 ]}

参考文献

1 2 $これは、重複度m$ の根 $がm 個の$ 根として数えられる。
↑ブダン、フランソワ D. (1807)。数値的な解決策を生み出す新しい方法。パリ：クルシエ。
↑フーリエ、ジャン・バティスト・ジョゼフ（1820年）。「デカルトの限界を超えたレースの使用法」。Bulletin des Sciences、par la Société Philomatique de Paris : 156–165 .
1 2アラゴ、フランソワ（1859）、『著名な科学者の伝記』 、ボストン：ティックナー・アンド・フィールズ（英語訳）、 383ページ
↑アクリタス、アルキヴィアディス G. (1981)。「ブダンとフーリエの論争について」。ACM シグサム速報。15 (1): 8–10 .土井: 10.1145/1089242.1089243。S2CID 6086015。
↑ Akritas, Alkiviadis G. (1982). "BudanとFourierによる2つの定理に関する考察". Mathematics Magazine . 55 (5): 292–298 . doi : 10.2307/2690097 . JSTOR 2690097 .
↑ベニス・シナクール、フーリヤ (1988)。"Deux moments dans l'histoire du Théorème d'algebre de Ch. F. Sturm" (PDF)。科学歴史レビュー。41 (2): 99–132 (p. 108)。土井：10.3406/rhs.1988.4093。S2CID 201270382。
↑ヴィンセント、アレクサンドル・ジョセフ・ヒドゥルフ (1834 年)。「数値に関する解決策のメモワール」。王立科学、農業および芸術に関する回想録、リール: 1–34。
↑ジョセフ A. セレット (1877)。最高のクール・ダルジェーブル。トメ I。ゴーティエ・ヴィラール。363～ 368ページ。
↑ Collins, GE ; Akritas, AG (1976).デカルトの符号規則を用いた多項式の実根の分離. 1976 ACM シンボリックおよび代数計算シンポジウム議事録. pp. 272–275 . doi : 10.1145/800205.806346 .

外部リンク

オコナー、ジョン・J. Robertson、Edmund F.、「Budan de Boislaurent」、MacTutor History of Mathematics Archive、セントアンドリュース大学

[mult-1] 1 2 $これは、重複度m$ の根 $がm 個の$ 根として数えられる。

[nmethode-2] ブダン、フランソワ D. (1807)。数値的な解決策を生み出す新しい方法。パリ：クルシエ。

[Fourier-3] フーリエ、ジャン・バティスト・ジョゼフ（1820年）。「デカルトの限界を超えたレースの使用法」。Bulletin des Sciences、par la Société Philomatique de Paris : 156–165 .

[arago-4] 1 2アラゴ、フランソワ（1859）、『著名な科学者の伝記』 、ボストン：ティックナー・アンド・フィールズ（英語訳）、 383ページ

[BF-5] アクリタス、アルキヴィアディス G. (1981)。「ブダンとフーリエの論争について」。ACM シグサム速報。15 (1): 8–10 .土井: 10.1145/1089242.1089243。S2CID 6086015。

[Reflections-6] Akritas, Alkiviadis G. (1982). "BudanとFourierによる2つの定理に関する考察". Mathematics Magazine . 55 (5): 292–298 . doi : 10.2307/2690097 . JSTOR 2690097 .

[Sturm-7] ベニス・シナクール、フーリヤ (1988)。"Deux moments dans l'histoire du Théorème d'algebre de Ch. F. Sturm" (PDF)。科学歴史レビュー。41 (2): 99–132 (p. 108)。土井：10.3406/rhs.1988.4093。S2CID 201270382。

[paper_1834-8] ヴィンセント、アレクサンドル・ジョセフ・ヒドゥルフ (1834 年)。「数値に関する解決策のメモワール」。王立科学、農業および芸術に関する回想録、リール: 1–34。

[Serret-9] ジョセフ A. セレット (1877)。最高のクール・ダルジェーブル。トメ I。ゴーティエ・ヴィラール。363～ 368ページ。

[10] Collins, GE ; Akritas, AG (1976).デカルトの符号規則を用いた多項式の実根の分離. 1976 ACM シンボリックおよび代数計算シンポジウム議事録. pp. 272–275 . doi : 10.1145/800205.806346 .

[ 1 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ] 。

[ 5 ]

6

7 ] 「

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

ブダンの定理

符号のバリエーション

デカルトの記号の法則

ブダンの声明

例

フーリエの声明

証拠

歴史

19世紀に使用

関連項目

参考文献

外部リンク

関連するトピック

偶奇性を計算する定理である。この定理は1807年に

フランソワ・ブダン・ド・ボワローラン

ジョセフ・フーリエによって独自に発表された。これらの定理はそれぞれ、互いの系である。フーリエの定理は19世紀の文献に多く登場し、

実根を分離する