花嫁の椅子

幾何学において、花嫁の椅子はピタゴラスの定理の図解である。^{[ 1 ]}この図形は、ユークリッドの『原論』第1巻第47命題に登場する。^{[ 2 ]}また、フランシスコ会修道士の頭巾、孔雀の尾、風車、ピタゴラスのズボン、花嫁の図、既婚女性の定理、小さな既婚女性の追跡など、いくつかの別名でも知られている。^{[ 1 ] [ 3 ]}

スイス系アメリカ人の数学史家フロリアン・カジョリによれば、「花嫁の椅子」という用語の究極的な語源はギリシャ語の同音異義語にある。「アラビア語の著述家の中には、ピタゴラスの定理を『花嫁の図』と呼ぶ者もいる」。ギリシャ語のνυμφηには、「花嫁」と「羽のある昆虫」という2つの関連する定義がある。3つの正方形を持つ直角三角形の図は、様々な著述家に昆虫を連想させたため、ギリシャ語の「昆虫」の意味が、3つの正方形を持つ直角三角形とピタゴラスの定理に適用されるようになった。ギリシャ語で文章を書くアラビア語話者は、しばしばこの単語のもう一方の意味が意図されていると誤解し、「花嫁」という単語を使ってこのフレーズをアラビア語に翻訳し直した。^{[ 4 ]}

シドニー・J・コルパス著『ピタゴラスの定理：8つの古典的な証明』（3ページ）には、古代の伝統によれば花嫁が結婚式場まで運ばれる際に使われたであろう椅子を描いた、花嫁の椅子の素敵なイラストが掲載されている。^{[ 5 ]}

花嫁の椅子によるピタゴラスの定理の証明、すなわち花嫁の椅子の図に基づくピタゴラスの定理の証明を以下に示す。この証明は、ドイツの哲学者アルトゥール・ショーペンハウアーによって、不必要に複雑で、あちこちに作図線が引かれ、演繹の手順が長いとして厳しく批判されている。ショーペンハウアーによれば、この証明は「見事なひねくれたもの」である。^{[ 6 ]}

1. 点Aから、BDとCEに平行な線を引きます。この線はBCとDEとそれぞれ点KとLで垂直に交わります。
2. CFとADを結んで、三角形BCFと三角形BDAを作る。
3. 角CABと角BAGはどちらも直角なので、C、A、Gは同一直線上にある。
4. 角CBDと角FBAはどちらも直角です。したがって、角ABDは角FBCと等しくなります。なぜなら、どちらも直角と角ABCの和だからです。
5. ABはFBと等しく、BDはBCと等しく、角ABDは角FBCと等しいので、三角形ABDは三角形FBCと合同でなければならない。
6. AKLはBDに平行な直線であるため、長方形BDLKは三角形ABDの2倍の面積を持ちます。これは、両者が底辺BDを共有し、同じ高さBK（共通の底辺に垂直で、平行線BDとALを結ぶ線）を持つためです。
7. CはAおよびGと同一線上にあり、この線はFBに平行であるため、正方形BAGFの面積は三角形FBCの面積の2倍でなければならない。
8. ^{したがって、長方形 BDLK は正方形 BAGF = AB 2}と同じ面積を持たなければなりません。
9. ステップ3から10を図の反対側に適用することで、長方形CKLEの面積が正方形ACIH = AC ²と同じであることが同様に示されます。
10. これら2つの結果を足し合わせると、AB ² + AC ² = BD × BK + KL × KC となる。
11. BD = KL なので、BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
12. したがって、 CBDEは正方形であるため、AB ² + AC ² = BC ^{2となります。}

「花嫁の椅子」という名称は、12世紀のインドの数学者バースカラ2世（1114年頃～1185年）がピタゴラスの定理の証明の図として用いた図を指す場合にも使われます。^{[ 7 ]}この図の説明は、バースカラ2世の『ビージャガニタ』第129節にあります。^{[ 8 ]}バースカラによるピタゴラスの定理の証明は、「見よ！」というたった一言だけだったという伝説があります。しかし、この定理は、内側の（小さい）正方形の面積と、4つの三角形の辺によって形成される大きな正方形の面積との関係から導き出されます。したがって、この図の記号を用いると、次の式が得られます。

${\displaystyle c^{2}=(a-b)^{2}+4({\tfrac {1}{2}}ab)=(a^{2}-2ab+b^{2})+(2ab)=a^{2}+b^{2}.}$

• シュアン・トゥー