ボクナー・マルティネリ式

数学において、ボクナー・マルティネリ公式は、エンツォ・マルティネリ (1938) とサロモン・ボクナー(1943)によって導入された、コーシー積分公式を複数の複素変数の関数に一般化したものです 。

本論文の式（53）とそれに基づく定理5の証明は、エンツォ・マルティネッリ （...）によって最近出版された。^{[1]これらの結果は、1940/1941年冬に}プリンストン大学院の講義で著者が発表し、その後、ドナルド・C・メイによるプリンストン博士論文（1941年6月）「 k変数の解析関数の積分公式とその応用」に取り入れられたことを述べておこう。

— サロモン・ボクナー（ボクナー 1943、652 ページ、脚注 1）。

しかし、この著者が同書脚注1 ^[2]で主張しているのは、マルティネリ以前にこの式の一般的な形を知っていたかもしれないというものだが、これは全く根拠がなく、ここに撤回する。

— サロモン・ボクナー（ボクナー 1947、p. 15、脚注*）。

ζ、zに対して、ボクナー・マルティネリ核ω( ζ、z )は、次式で定義される ζの二次微分形式( n、n −1)である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}}$

（ここでdζjの項は省略される_）。

f がⁿ内の領域Dの閉包上の連続微分可能関数で、境界が区分的に滑らかな∂ Dであるとする。このとき、ボクナー・マルティネリの公式によれば、z が領域D内にある場合、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).}$

特にfが正則な場合は第2項は消えるので、

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).}$

• ベルクマン・ヴェイユの公式