ボクナーの公式

数学において、ボクナーの公式は、リーマン多様体上の調和関数とリッチ曲率を関連付ける公式である。この公式は、アメリカの数学者サロモン・ボクナーにちなんで名付けられている。 ${\displaystyle (M,g)}$

が滑らかな関数であれ ば、${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=g(\nabla \Delta u,\nabla u)+|\nabla ^{2}u|^{2 }+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)}$、

ここで はの に関する勾配、はの に関するヘッセ行列、はリッチ曲率テンソルである。^[1]が調和関数（すなわち、 は計量に関するラプラシアン）である場合、ボクナーの公式は次のようになる。 ${\displaystyle \nabla u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \nabla^{2}u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mbox{リック}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Delta u=0}$${\displaystyle \Delta =\Delta _{g}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u 、\nabla u)}$。

ボクナーはこの式を使ってボクナー消失定理を証明しました。

系として、が境界のないリーマン多様体であり、が滑らかでコンパクトに支えられた関数である場合、 ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{M}(\Delta u)^{2}\,d{\mbox{vol}}=\int _{M}{\Big (}|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u){\Big )}\,d{\mbox{vol}}}$。

これは最初の恒等式からすぐに導かれ、左辺の積分が（発散定理により）消えることを観察し、右辺の最初の項を部分積分します。

• ボクナーのアイデンティティ
• ヴァイツェンベックのアイデンティティ