ブラックパスゲーム

ブラックパスゲーム（ブリックなど様々な名前でも知られる）は、数学的プレイの勝利方法で説明および分析された2人用のボードゲームです。1960年にラリー・ブラックによって発明されました。^[1]

また、「ブラック」または「ブラックのゲーム」として知られるゲームが 1960 年にウィリアム L. ブラックによって発明されたという報告もあります。この「ウィリアム L. ブラック」(おそらく「ラリー」として知られていました) は当時マサチューセッツ工科大学の学部生で、ゲーム ボードの反対側をリンクするコマの「チェーン」を作成するという課題に基づく 2 つのゲーム、HexとBridg-It を研究していました。ブラックの研究の創造的な成果は、彼の友人が (おそらく想像力に欠けるが) Blackと名付けた新しい位相ゲームでした。このゲームは、1963 年 10 月のScientific Americanの「数学ゲーム」コラムでマーティン ガードナーによって一般に紹介されました。^[2]

ブラック パス ゲームは、正方形に区切られたボード上でプレイします。ボードの境界の 1 つのエッジがパスの開始点として指定されます。最初の移動後、プレーヤーは、現在のパスの終わりにある隣接する正方形を、以下に示す 3 つの構成のいずれかで交互に埋めることで、開始エッジからパスを延長します。

空でない正方形は、2 つの辺を結ぶ 2 つのパスを含む次のいずれかの構成で埋められます。

• 
  T1 タイル、隣接する辺 (上と左、下と右) を接続するパス付き
• 
  T2 タイル、隣接する辺 (上と右、下と左) を接続するパス付き
• 
  T3 タイル、反対側 (上と下、左と右) を接続するパス付き

これらのタイルは、正方形の辺をペアでつなぐ3つの方法です。最初の2つは、トルシェタイル張りのタイルです。^[3]

パスは、以前埋められたマスに戻り、そのマスのまだ使用されていないセグメントをたどる場合があります。パスをボードの端に戻したプレイヤーが最初にゲームに負けます。^[1]

提供されたゲーム例で概説されているように、ボードの角にパスを通したプレイヤーがゲームに勝ちます。他のプレイヤーはボードの端にパスを通すしか選択肢がないからです。^[2]

少なくとも 1 辺の長さが偶数で、合計のマス数が偶数である長方形のボードであれば、最初のプレーヤーには勝つ戦略があります。長方形 (2×1 単位サイズ) のドミノで覆われたボードを想像してください。最初のプレーヤーが常にパスの終わりがドミノの 1 つの中央に来るようにプレイすると、そのプレーヤーが勝ちます。この戦略はブラックの友人であるエルウィン R. バーレカンプによって発見され、^[2]彼は後にそれを著書で説明しました。^[1]

盤面の両側が奇数の場合、2番目のプレイヤーは、最初のプレイヤーの最初の動きを含むマスを除くすべてのマスを含む同様のドミノタイル戦略を使用して勝つことができます。^[1]

ドミノのタイル戦略は、負けたプレイヤーが新しいドミノの端でパスを終えるようにすることで機能します。新しいドミノでパスを続けることで、勝ったプレイヤーは最終的に負けたプレイヤーを端またはコーナーに追い込むことになります。^[2]プレイヤー 2 は、偶数セルのボードで勝つことができます。まず、左上と右下のコーナーを除いて、ボード全体が 2×1 ドミノで覆われていると考えます。プレイヤー 2 が、プレイヤー 1 を [B2] (メイン対角の 2 番目のセル) に移動させると、プレイヤー 1 の [B2] での移動に関係なく、[B2] の未使用のパスは、プレイヤー 2 が使用できる「分割ドミノ」の 2 つのマス目と見なすことができる 2 つのマス目を接続し、残りのタイル (右下コーナーを除く) をドミノで覆うことができます。^[2]

3 番目の動きから生じる「分割ドミノ」を示す以下の 3 つの例を参照してください。

右に示す 4×4 グリッド上のゲームの例を考えてみましょう。ここでの動きは次のとおりです。

ルールによれば、プレイヤー1の次の動き（奇数ターン）は、パスを継続するためには[B4]のスペースでなければなりません。プレイヤー1が[B4]-T3の動きをした場合この牌は下端にパスを繋ぐので、即座に負けになります。[B4]-T1をプレイするプレイヤー2の次の動きはコーナー[A4]に配置され、プレイヤー3はどの駒をプレイしたかに関係なく負けとなるため、勝利となります。[B4]-T2をプレイすると最終的にはプレイヤー1の負けになります。^[1] 4×4のドミノタイルが敷かれた空白のボードと比較すると、プレイヤー1が[B4]-T1を動かすとパスがドミノの中央に配置され、[B4]-T2を動かすとパスがドミノの端に配置され、プレイヤー2はプレイヤー1に最後の動きをさせるように誘導できることがわかります。

ガードナーは、2 番目のゲーム例について説明します。このゲームの動きは次のとおりです。

この2番目の例では、プレイヤー1が角のスペース[D1]にパスを移動したため、プレイヤー2の動きに関わらず勝利となります。^[2] [B2]-T3での3回目の移動（プレイヤー2による）の後、分割ドミノはセル[B1]と[B3]に存在します。しかし、プレイヤー2の5回目の移動[C1]-T2により、パスは分割ドミノの端に移動され、プレイヤー1は6回目の移動[B1]-T1でこれを利用し、分割ドミノの中央に動きました。

• Tantrix は、3つのパスと6つのエントリポイントを持つ六角形の蛇行模様を使用します。各パスは異なる色です。
• Trax は、2つのパスと4つのエントリポイントを備えた同様の正方形のタイルのセットを使用します。各パスも異なる色になっています。
• 4つのパスと8つのエントリーポイントを持つ正方形のタイルを使用するツロ