ブラックの近似

金融において、ブラック近似法は、単一配当を支払う株式のアメリカンコールオプションの価値を計算するための近似法である。これは1975年にフィッシャー・ブラックによって説明された。 ^[1]

ブラック・ショールズ式(以下、「BS 式」) は、無配当株のコール オプションの価値を表す明示的な式を提供します。株が 1 つ以上の離散配当を支払う場合、閉じた式は知られていませんが、いくつかの近似値を使用できます。そうでない場合は、ブラック・ショールズ偏微分方程式を数値的に解く必要があります。そのような近似値の 1 つをここで説明します。ブラック・ショールズ モデル#アメリカン オプションも参照してください。

この方法は、基本的に BS 式を使用して、2 つのヨーロッパ コール オプションの価値を計算することを伴います。
(1) 評価対象のアメリカ コールと同じ満期日を持つヨーロッパ コールですが、株価は配当の現在価値によって減額されます。
(2) 配当が支払われる前日に満期を迎えるヨーロッパ コール。(1) と (2) のうち最大の値が、アメリカ コールのおおよその価値として採用されます。例を参照してください。結果として得られる値は、コールの「疑似アメリカ」価値と呼ばれることがあります。

権利落ち日が 3 か月と 5 か月で、有効期限が 6 か月のアメリカン コール オプションを考えてみましょう。各権利落ち日の配当金は 0.70 ドルと予想されます。追加情報は以下に記載されています。アメリカン コール オプションの値を求めます。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=\$40\\X&=\$40\\\sigma &=30\%\;pa\\r&=10\%\;pa\\T&=6\;months=.5\;years\\D&=\$0.70\\\end{aligned}}}$

まず、上記の方法セクションで説明した 2 つの方法に基づいて計算する必要があります。ここでは、両方の部分を計算します。

（１）これは第一の方法による計算であり、次のように述べている。

アメリカンコールと同じ満期のヨーロピアンコールが評価されますが、株価は配当の現在価値だけ減額されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}}{m}})}+D_{2}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{2}}{m}})}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle PV}$権利落ち日における配当金の正味現在価値です（権利落ち日を使用するのは、この日に株価が配当金の額だけ下がるためです）

${\displaystyle D_{1,2}}$権利確定日の配当金は

${\displaystyle r}$は市場の無リスク金利であり、この例では一定であると仮定する。

${\displaystyle \Delta t_{1,2}}$権利確定日までの期間

${\displaystyle m}$Δt を 1 年にするための除算係数。(例= 2 か月、= 12 か月なので、= 2/12 = .166667)${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {\Delta t}{m}}}$

${\displaystyle e}$指数関数です。

この式を次の質問に適用します。

${\displaystyle {\begin{aligned}0.7e^{-(.1)({\frac {3}{12}})}+0.7e^{-(.1)({\frac {5}{12}})}=1.3541\end{aligned}}}$

したがって、オプション価格はブラック・ショールズ・マートン・モデルを使用して計算できます。ここでは、配当を割り引いて、新しい値をで表します。${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle S_{0}'}$

${\displaystyle S_{0}'=40-1.3541=38.6459}$

残りの変数は同じままです。次に、これらの式を使用してd ₁とd _{2を計算する必要があります。}

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=S_{0}N(d_{1})-Xe^{-r(T)}N(d_{2})\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {S_{0}}{X}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T)\right]}{\sigma {\sqrt {T}}}}\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}\end{aligned}}}$

どこ、

${\displaystyle N(\cdot )}$は標準正規分布の累積分布関数である

${\displaystyle T}$成熟の時です

${\displaystyle S_{0}}$原資産の現在の価格

${\displaystyle X}$行使価格は

${\displaystyle r}$リスクフリーレート（連続複利で表された年率）

${\displaystyle \sigma}$原資産の収益の変動性である

取得した値を入力すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {38.6459}{40}}\right)+\left(0.1+{\frac {0.3^{2}}{2}}\right)(0.5)\right]}{0.3{\sqrt {0.5}}}}=0.1794\\d_{2}&=0.1794-0.3{\sqrt {0.5}}=-0.0327\\N(d_{1})&=0.5712\\N(d_{2})&=0.4870\\C&=38.6459(0.5712)-40e^{-0.1(0.5)}(0.4870)=3.5446\approx \$3.54\end{aligned}}}$

（２）これは２番目の方法による計算であり、次のように述べられている。

配当金が支払われる前日に満期を迎える欧州コール。

この方法は、このオプションの満期日が最後の配当の前の最後の満期日（つまり、5 か月目の 2 回目の配当）に設定されている点を除いて、前の方法と同じように始まります。

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}}{m}})}\end{aligned}}}$

ほとんどの場合、変数は満期までの時間を除いて同じままです。満期までの時間は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=5\;months=.4167\;years\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}PV&=0.7e^{-(0.1)({\frac {3}{12}})}=0.6827\\S_{0}'&=40-0.6827=39.3173\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {39.3173}{40}}\right)+\left(0.1+{\frac {0.3^{2}}{2}}\right)(0.4167)\right]}{0.3{\sqrt {0.4167}}}}=0.2231\\d_{2}&=0.2231-0.3{\sqrt {0.4167}}=0.0294\\N(d_{1})&=0.5883\\N(d_{2})&=0.5117\\C&=39.3173(0.5883)-40e^{-0.1(0.4167)}(0.5117)=3.4997\approx \$3.50\end{aligned}}}$

方法(2)から方法(1)の価格を思い出すと、フィッシャー・ブラックの近似によれば、アメリカンコールオプションの価格は2つの方法のうち大きい方であり、したがってオプションの価格 = であることがわかります。 ${\displaystyle \$3.54>\$3.50}$${\displaystyle \$3.54}$

• ハル、ジョン C. (1997)。オプション、先物、およびその他のデリバティブ。プレンティス ホール。ISBN 0-13-601589-1。