特注セット
数学 において 、 バイカンドル と バイラックは、 カンドルとラックを 一般化する二項演算を含む集合です。バイカンドルは、 仮想結び目 の理論において、古典 結び目 の理論でカンドルが占める位置を占めます 。バイラックとラックは同じ関係にありますが、バイカンドルはいくつかの追加条件を満たすバイラックです。
定義 バイカンドルとバイラックは、と と書かれた 集合に対する 2 つの二項演算です 。これらは次の 3 つの公理を満たします。
バツ
{\displaystyle X}
1つの
b
{\displaystyle a^{b}}
1つの
b
{\displaystyle a_{b}}
1.
（
1つの
b
）
ｃ
b
=
1つの
ｃ
b
ｃ
{\displaystyle (a^{b})^{c_{b}}={a^{c}}^{b^{c}}}
2.
1つの
b
ｃ
b
=
1つの
ｃ
b
ｃ
{\displaystyle {a_{b}}_{c_{b}}={a_{c}}_{b^{c}}}
3.
1つの
b
ｃ
b
=
1つの
ｃ
b
ｃ
{\displaystyle {a_{b}}^{c_{b}}={a^{c}}_{b^{c}}}
これらのアイデンティティは、オブジェクトが種と呼ばれていた参考文献 [FRS] に 1992 年に登場しました。
上付き文字と下付き文字の表記は括弧を使わなくて済むので便利です。例えば、 と と書く と、 上の3つの公理は次
のようになります。
1つの ∗ b
{\displaystyle a*b}
1つの
b
{\displaystyle a_{b}}
1つの
∗ ∗
b
{\displaystyle a\mathbin {**} b}
1つの
b
{\displaystyle a^{b}}
1.
（ 1つの
∗ ∗
b ）
∗ ∗
（ ｃ ∗ b ） = （ 1つの
∗ ∗
ｃ ）
∗ ∗
（ b
∗ ∗
ｃ ）
{\displaystyle (a\mathbin {**} b)\mathbin {**} (c*b)=(a\mathbin {**} c)\mathbin {**} (b\mathbin {**} c)}
2.
（ 1つの ∗ b ） ∗ （ ｃ ∗ b ） = （ 1つの ∗ ｃ ） ∗ （ b
∗ ∗
ｃ ）
{\displaystyle (a*b)*(c*b)=(a*c)*(b\mathbin {**} c)}
3.
（ 1つの ∗ b ）
∗ ∗
（ ｃ ∗ b ） = （ 1つの
∗ ∗
ｃ ） ∗ （ b
∗ ∗
ｃ ）
{\displaystyle (a*b)\mathbin {**} (c*b)=(a\mathbin {**} c)*(b\mathbin {**} c)}
さらに、2 つの演算が 可逆で ある場合、つまり、 が集合 で 与えられている場合 、集合 には となる 一意の が存在し 、 その場合、 集合 と 2 つの演算は、 バイラック を 定義します。
1つの 、 b
{\displaystyle a,b}
バツ
{\displaystyle X}
x 、 ええ
{\displaystyle x,y}
バツ
{\displaystyle X}
x
b
= 1つの
{\displaystyle x^{b}=a}
ええ
b
= 1つの
{\displaystyle y_{b}=a}
バツ
{\displaystyle X}
たとえば、 演算 を伴う が ラック である場合 、
他の演算 を 恒等演算 と定義すると、 はバイラックになります 。
バツ
{\displaystyle X}
1つの
b
{\displaystyle a^{b}}
1つの
b
= 1つの
{\displaystyle a_{b}=a}
バイラックの場合、関数は 次のように定義されます。
S :
バツ
2
→
バツ
2
{\displaystyle S:X^{2}\rightarrow X^{2}}
S （ 1つの 、
b
1つの
） = （ b 、
1つの
b
） 。
{\displaystyle S(a,b_{a})=(b,a^{b}).\,}
それから
1. 一対一で ある
S
{\displaystyle S}
2.
S
1
S
2
S
1
=
S
2
S
1
S
2
{\displaystyle S_{1}S_{2}S_{1}=S_{2}S_{1}S_{2}\,}
2 番目の条件では、 およびは、 および によって定義されます。この条件は、 集合論的 ヤン・バクスター 方程式と呼ばれることもあります 。
S
1
{\displaystyle S_{1}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
S
1
（ 1つの 、 b 、 ｃ ） = （ S （ 1つの 、 b ） 、 ｃ ）
{\displaystyle S_{1}(a,b,c)=(S(a,b),c)}
S
2
(
a
,
b
,
c
)
=
(
a
,
S
(
b
,
c
)
)
{\displaystyle S_{2}(a,b,c)=(a,S(b,c))}
1.が正しいことを確認するには、次 のように定義される
ことに注意してください。
S
′
{\displaystyle S'}
S
′
(
b
,
a
b
)
=
(
a
,
b
a
)
{\displaystyle S'(b,a^{b})=(a,b_{a})\,}
は逆である
S
{\displaystyle S\,}
2.が正しいことを確認するために、3つの下 の進行を追ってみましょう 。
(
c
,
b
c
,
a
b
c
b
)
{\displaystyle (c,b_{c},a_{bc^{b}})}
S
1
S
2
S
1
{\displaystyle S_{1}S_{2}S_{1}}
(
c
,
b
c
,
a
b
c
b
)
→
(
b
,
c
b
,
a
b
c
b
)
→
(
b
,
a
b
,
c
b
a
b
)
→
(
a
,
b
a
,
c
b
a
b
)
.
{\displaystyle (c,b_{c},a_{bc^{b}})\to (b,c^{b},a_{bc^{b}})\to (b,a_{b},c^{ba_{b}})\to (a,b^{a},c^{ba_{b}}).}
一方、 その進捗状況 は
(
c
,
b
c
,
a
b
c
b
)
=
(
c
,
b
c
,
a
c
b
c
)
{\displaystyle (c,b_{c},a_{bc^{b}})=(c,b_{c},a_{cb_{c}})}
S
2
S
1
S
2
{\displaystyle S_{2}S_{1}S_{2}}
(
c
,
b
c
,
a
c
b
c
)
→
(
c
,
a
c
,
b
c
a
c
)
→
(
a
,
c
a
,
b
c
a
c
)
=
(
a
,
c
a
,
b
a
c
a
)
→
(
a
,
b
a
,
c
a
b
a
)
=
(
a
,
b
a
,
c
b
a
b
)
.
{\displaystyle (c,b_{c},a_{cb_{c}})\to (c,a_{c},{b_{c}}^{a_{c}})\to (a,c^{a},{b_{c}}^{a_{c}})=(a,c^{a},{b^{a}}_{c^{a}})\to (a,b_{a},c_{ab_{a}})=(a,b^{a},c^{ba_{b}}).}
1. 2. を満たす ものは スイッチ （ビカンドルとビラックの前身）であると言われています。
S
{\displaystyle S}
スイッチの例としては、ラックの
ID、 ねじれ 、操作 場所などがあります。
T
(
a
,
b
)
=
(
b
,
a
)
{\displaystyle T(a,b)=(b,a)}
S
(
a
,
b
)
=
(
b
,
a
b
)
{\displaystyle S(a,b)=(b,a^{b})}
a
b
{\displaystyle a^{b}}
操作が可逆である場合、スイッチはバイラックを定義します。アイデンティティ スイッチはこれを行わないことに注意してください。
ビクアンドルズ バイカンドルは、ネルソンとリッシェによって説明されているように、いくつかの追加構造を満たすバイラックです。 [1] バイカンドルの公理は、仮想結び目のバイカンドルをライデマイスター移動に対して不変にしながら、2つのバイナリ演算に適用できる最も弱い制限であるという意味で「最小限」です。
線形二項対立
仮想リンクと編組への応用
バイラックホモロジー
参考文献
^ サム・ネルソン;リッシュ、ジャクリーン L. (2008)。 「双線形双カンドルについて」。 コロキウム数学 。 112 (2): 279–289。 arXiv : 0708.1951 。 土井 ： 10.4064/cm112-2-5 。
さらに読む Fenn, Roger; Jordan-Santana, Mercedes; Kauffman, Louis ( 2004 ). 「バイカンドルと仮想リンク」。 トポロジーとその応用 。145 (1–3): 157–175. doi : 10.1016/j.topol.2004.06.008 。 Fenn, Roger; Rourke, Colin ; Sanderson, Brian (1993)。「種とラック空間の紹介」。 結び目理論のトピック 。NATO ASI シリーズ。第 399 巻。Springer。pp. 33–55。doi : 10.1007 /978-94-011-1695-4_4。 カウフマン 、ルイス H. (1999)。「仮想結び目理論」。 ヨーロッパ組合せ論ジャーナル 。20 (7): 663–690。doi : 10.1006 /eujc.1999.0314 。 
