アリストテレスの公理

アリストテレスの公理は幾何学の基礎における公理であり、アリストテレスが『天体論』で提唱したもので、次のように述べています。

が鋭角で、AB が任意の線分である 場合 、直線上に点 P が存在し、直線上に点 Q が存在し、PQ は OX に垂直で、PQ > AB となります。 ${\displaystyle {\widehat {\rm {XOY}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {OY}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {OX}}}$

アリストテレスの公理はアルキメデスの性質^[1]の結果であり、アリストテレスの公理と「直角の各辺に上げた垂線は交わる」と述べるロッチニタクシオムの結合は平行線公準^[2]と同等である。

平行線公理がなければ、アリストテレスの公理は次の3つの発生幾何学的ステートメントのそれぞれと同等である。^[3]

• 直線 A と A 上の点 P、および A に平行な 2 つの交差する直線 M と N が与えられると、P を通る直線 G が存在し、この直線は M とは交差しますが N とは交差しません。
• 線分 A と、A に平行な 2 つの交差線分 M と N が与えられた場合、A と M とは交差するが N とは交差しない線分 G が存在します。
• 直線 A と、それぞれ A とは異なる 2 つの異なる交差直線 M および N が与えられた場合、A と M とは交差するが N とは交差しない直線 G が存在します。