アリスタルコスの不平等

これらの不等式を用いると、まず次のことが証明できる。

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}<{\frac {\alpha }{\beta }}.}$

まず、この不等式は以下と同等であることに注目します。

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}}$

これは次のように書き換えることができる。

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.}$

私たちは今、それを示したいのです

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<\cos(\beta )<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.}$

2番目の不等式は単純に${\displaystyle \beta <\tan \beta }$最初のものは正しい。

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}={\frac {2\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{\alpha -\beta }}<{\frac {2\cdot \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \cos(\beta )}{\alpha -\beta }}=\cos(\beta ).}$

次に、2番目の不等式、つまり次の不等式を示します。

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$

まず、最初の不等式により、次のことが成り立つことに注意します。

${\displaystyle \beta <\tan(\beta )={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}<{\frac {\sin(\beta )}{\cos(\alpha )}}}$

したがって、それを使用すると${\displaystyle 0<\alpha -\beta <\alpha }$前の式では（${\displaystyle \beta }$による${\displaystyle \alpha -\beta <\alpha }$）我々は以下を得る：

${\displaystyle {\alpha -\beta }<{\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta ).}$

結論として、

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha -\beta }{\beta }}+1<{\frac {\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}{\sin(\beta )}}+1={\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$