アポロニウスの定理

幾何学において、アポロニウスの定理は三角形の中線の長さと辺の長さを関連付ける定理です。これは、任意の三角形の任意の 2 辺の平方の和は、3 番目の辺の半分の平方の 2 倍と、3 番目の辺を二等分する中線の平方の 2 倍を足したものに等しいという定理です。この定理は、古代ギリシャの数学者ペルガのアポロニウスにちなんで名付けられました。

任意の三角形においてが中線である場合、これ はスチュワートの定理の特殊なケース です。中線が に垂直な二等辺三角形の場合、定理は三角形(または三角形) のピタゴラスの定理に帰着します。平行四辺形の対角線が互いに二等分するという事実から、定理は平行四辺形の法則と同等です。 ${\displaystyle ABC,}$${\displaystyle AD}$$${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|BD|^{2}+|AD|^{2}).}$$${\displaystyle |AB|=|AC|,}$${\displaystyle AD}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle ADB}$${\displaystyle ADC}$

この定理はスチュワートの定理の特別なケースとして証明することも、ベクトルを使って証明することもできます（平行四辺形の法則を参照）。以下は余弦定理を使った独立した証明です。^[1]

三角形の辺が中線から辺まで引かれているとします。中線によって形成されるの線分の長さを とすると、 の半分になります。との間に形成される角度をと とすると、は含まれ、は含まれます。との補角はとです。 との余弦定理は、${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$${\displaystyle a.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta ^{\prime },}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \theta ^{\prime}}$${\displaystyle c.}$${\displaystyle \theta ^{\prime}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta .}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta ^{\prime}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}}$$

必要に応じて、最初の方程式と 3 番目の方程式を追加します 。 $${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$$

• 中線の長さに関する公式 – 三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分

• PlanetMathのアポロニウスの定理。
• デイビッド・B・スロウスキー：高校上級数学。27 ページ