ゴムロープの上のアリ

ゴムロープにとまったアリは、直感に反する、あるいは逆説的に見える解法を持つ数学パズルです。ゴムや伸縮性のあるバンドにとまった虫、または尺取虫として表されることもありますが、パズルの原理は同じです。

パズルの詳細は様々ですが^{[1] [2]}、典型的な形式は次のとおりです。

一見すると、アリはロープの端にたどり着くことは決してないように思えますが、ロープの長さや速度がどんなに長くても、長さと速度が一定であれば、アリは十分な時間があれば必ず端にたどり着くことができます。上記の形式では、8.9 × 10 ^{43 421}年。重要な原則が 2 つあります。1 つ目は、ゴムロープがアリの前と後ろに伸びているため、アリがすでに歩いたロープの割合が保存されることです。2 つ目は、アリの比例速度がゴムロープの長さに反比例するため、アリが移動できる距離は調和級数のように無限大であることです。

アリ (赤い点) が伸縮性のあるロープの上を 1 cm/s の一定速度で這っています。ロープは最初 4 cm の長さで、2 cm/s の一定速度で伸びます。

分析のために、パズルの形式化されたバージョンを以下に示します。

軸上の理想的な弾性ロープを考えてみましょう。このロープの端点は、定数 および に対して、 の時点で (開始点 ) と (目標点 ) にあります。つまり、 の時点で目標点は の位置にあり、が変化すると目標点は一定速度で移動します。点オブジェクト (アリ) はロープ上にあり、 の時点で開始点から始まり、ロープの現在の位置に対して一定速度でロープに沿って移動します。アリが目標点に出会う時間はありますか?${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=c+vt}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle v>0}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle t}$${\displaystyle v}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle t}$

導入部のパズルの記述は、が 1 km、が 1 km/s、が 1 cm/s のときに対応しています。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha}$

この問題を解くには分析的な技術が必要であるように思われるが、ロープが連続的に伸びるのではなく、毎秒突然瞬間的に伸びるというバリエーションを考慮することで、実際には組み合わせ論的議論で答えることができる。実際、この問題はこのような言葉で表現されることもあり、以下の議論はマーティン・ガードナーが提示した議論を一般化したものであって、もともとサイエンティフィック・アメリカン誌に掲載され、後に再版されたものである。^[1]

ロープが毎秒前に突然瞬間的に伸びるバリエーションを考えてみましょう。その結果、目標地点は、時刻にから に、時刻にから に、といったように移動していきます。この問題の多くのバージョンでは、ロープは毎秒の終わりに伸びますが、ロープが毎秒前に伸びるようにすることで、アリの目標は不利になります。そのため、このバリエーションでアリが目標地点に到達できるのであれば、元の問題でも、あるいはロープが毎秒の終わりに伸びるバリエーションでも確実に到達できると確信できます。 ${\displaystyle x=c}$${\displaystyle x=c+v}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle x=c+v}$${\displaystyle x=c+2v}$${\displaystyle t=1}$

を、時刻tの時点で蟻が移動した、開始点から目標点までの距離の割合とします。したがって。最初の 1 秒間に蟻は距離 を移動しますが、これは開始点から目標点までの距離（最初の 1 秒間にわたって）のうちの です。ロープが突然、瞬間的に伸びたとき、は変化しません。これは、蟻がその瞬間のゴムとともに移動するためです。したがって。次の 1 秒間に蟻は再び 距離 を移動しますが、これは開始点から目標点までの距離（その 1 秒間にわたって）のうちの です。したがって。同様に、任意の について、です。 ${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle \theta (0)=0}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+v}}}$${\displaystyle c+v}$${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle \theta (1)={\frac {\alpha }{c+v}}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+2v}}}$${\displaystyle c+2v}$${\displaystyle \theta (2)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \theta (n)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}+\cdots +{\frac {\alpha }{c+nv}}}$

任意の に対して となるので、 と書くことができること に注意してください。 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+kv}}\geqslant {\frac {\alpha }{kc+kv}}=\left({\frac {\alpha }{c+v}}\right)\left({\frac {1}{k}}\right)}$$${\displaystyle \theta (n)\geqslant \left({\frac {\alpha }{c+v}}\right)\left(1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}$$

項は部分調和級数であり、発散するので、となるような を見つけることができ、それは となることを意味します。 ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{N}}\geqslant {\frac {c+v}{\alpha }}}$${\displaystyle \theta (N)\geqslant 1}$

したがって、十分な時間が与えられれば、アリは目標地点まで旅を完了します。この解法は、必要な時間の上限を取得するために使用できますが、かかる時間についての正確な答えは得られません。

重要な観察は、与えられた時間におけるアリの速度はロープに対する相対的な速度、つまり にアリがいる地点におけるロープの速度を加えたものであるということです。ターゲット ポイントは速度 で移動するため、 の時点では です。ロープに沿った他のポイントは比例した速度で移動するため、 の時点ではロープ上のポイントは速度 で移動しています。したがって、時間におけるアリの位置を、時間におけるアリの速度をと書くと、次のように書くことができます。 ${\displaystyle t>0}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle v}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x=c+vt}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x=X}$${\displaystyle {\frac {vX}{c+vt}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y'(t)}$

$${\displaystyle y'(t)=\alpha +{\frac {v\,y(t)}{c+vt}}}$$

これは一次線形微分方程式であり、標準的な方法で解くことができます。しかし、解くには中程度の高度な微積分が必要です。より単純なアプローチでは、アリの位置を出発点から目標点までの距離の比率として考えます。^[2]

開始点が、目標点が である、ロープに沿って測定された座標を考えます。これらの座標では、ロープが伸びても、ロープ上のすべての点は ( に関して) 固定された位置に留まります。時間 では、 の点は にあり、に関してロープに対するの速度は、に関しての速度と同等です。したがって、時間におけるアリの位置を、時間におけるアリの速度をと書くと、次のように書くことができます。 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi =0}$${\displaystyle \psi =1}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle t\geqslant 0}$${\displaystyle x=X}$${\displaystyle \psi ={\frac {X}{c+vt}}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {\alpha }{c+vt}}}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \phi (t)}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \phi '(t)}$

$${\displaystyle \phi '(t)={\frac {\alpha }{c+vt}}}$$ $${\displaystyle \therefore \phi (t)=\int {{\frac {\alpha }{c+vt}}\,dt}={\frac {\alpha }{v}}\ln(c+vt)+\kappa }$$ここで積分定数です。 ${\displaystyle \kappa}$

さて、これは を与えるので、 となります。 ${\displaystyle \phi (0)=0}$${\displaystyle \kappa =-{\frac {\alpha }{v}}\ln {c}}$${\displaystyle \phi (t)={\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vt}{c}}\right)}}$

アリが に目標地点 ( )に到達する場合、 が成り立つはずであり、次の式が得られます。 ${\displaystyle \psi =1}$${\displaystyle t=T}$${\displaystyle \phi (T)=1}$

$${\displaystyle {\frac {\alpha }{v}}\ln {\left({\frac {c+vT}{c}}\right)}=1}$$

$${\displaystyle \therefore T={\frac {c}{v}}\left(e^{v/\alpha }-1\right)}$$

したがって、アリが目標点を捉えたときの輪ゴムの長さ（つまり、アリが移動した距離）は次のようになります。 $${\displaystyle y\left(T\right)=c+vT=c\times e^{v/\alpha }.}$$

( v = 0の単純なケースでは、極限を考慮して単純な解を得ることができます。) これにより、すべての有限の 、、( 、)に対して有限の値が得られるため、十分な時間が与えられれば、アリは目標地点まで旅を完了することになります。この式を使用して、必要な時間を調べることができます。 ${\displaystyle \lim _{v\rightarrow 0}T(v)}$${\displaystyle T={\tfrac {c}{\alpha }}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle v>0}$${\displaystyle \alpha >0}$

この問題では、最初に述べたように、、となり、となります。これは、宇宙の推定年齢 （約 ）と比べても非常に長い時間です。${\displaystyle c=1\,\mathrm {km} }$${\displaystyle v=1\,\mathrm {km} /\mathrm {s} }$${\displaystyle \alpha =1\,\mathrm {cm} /\mathrm {s} }$${\displaystyle T=(e^{100\,000}-1)\,\mathrm {s} \,\!\approx 2.8\times 10^{43\,429}\,\mathrm {s} }$4 × 10 ¹⁷ 秒。さらに、この時間後のロープの長さも同様に大きく、2.8 × 10^43,429  km なので、アリがこのロープの端に到達できるのは数学的な意味でのみです ^。

冒頭で述べた状況を考えてみましょう。1 km の長さのロープが 1 km/s で伸びており、そのロープに沿って 1 cm/s の相対速度で歩いているアリです。いつでも、ロープに 2 つのマークを付けることができます。1 つはアリの現在の位置、もう 1 つは目標地点に 1 mm 近い位置です。アリがしばらく止まった場合、アリの視点から見ると、最初のマークは静止しており、2 番目のマークは 1 mm/s 以下の一定速度で移動しています (開始時間によって異なります)。アリがこの 2 番目のマークに到達できることは明らかです。所要時間を単純に長めに見積もるために、最初のマークに到達した瞬間にロープがアリにかける力を「オフ」にすると想像してください (アリは一定速度で前進し続けます)。この時点での最初のマークの参照フレームに関して、アリは 1 cm/s で移動しており、2 番目のマークは最初は 1 mm 離れており 1 mm/s で移動しており、アリは 1/9 秒でマークに到達します。

私たちがすべきことは、アリの位置をロープの長さの割合として考えることです。上記の推論は、この割合が常に増加していることを示していますが、これではまだ十分ではありません。(アリはロープの一部に漸近的に近づいても、目標点に近づくことはありません。) また、この推論は、1/9 秒ごとに、アリが歩くロープの割合が (少なくともその数と同じ大きさで) 現在の時間に反比例することを示しています。これは、目標点が時間に比例して移動し、この 1 mm 間隔に対応するロープの割合がそれに反比例するためです。

時間に反比例する速度で増加する量は対数的増加を示し、たとえどれだけゆっくりであっても、際限なく増加します。つまり、アリは最終的に目標地点に到達することになります。

ロープが伸びる速度が時間の経過とともに増加すると、アリは目標に到達できない可能性があります。たとえば、ロープの一方の端が、均一な重力場内で自由落下している重りに取り付けられており、ロープは重りに力を加えていないとします（言い換えると、目標点の位置は の形式の関数で与えられます）。が 1 m、が 9.81 m/s ²で、アリが 1 cm/s で移動する場合、アリは常に前進しているにもかかわらず、ロープの長さの 0.71% もカバーしません。ただし、アリが 1.41 m/s を超える速度で移動する場合、有限時間内にロープの端に到達します。さらに、アリの速度が指数関数的に減少する一方でロープの長さが指数関数的に増加し、アリが有限時間内にロープの端に到達するシナリオもあります。^[3]${\displaystyle x=c+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$

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