アンドリカの推測

最初の (a) 100、(b) 200、(c) 500 個の素数に対する Andrica の予想のグラフィカルな証明。関数は常に 1 未満であると予想されます。${\displaystyle A_{n}}$

アンドリカ予想（ルーマニアの数学者ドリン・アンドリカ（es）にちなんで名付けられた）は、素数間のギャップに関する予想である。^[1]

この予想は、不等式

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}1}$

はすべての に対して成り立ち、 はn番目の素数です。 がn番目の素数ギャップを表す場合、アンドリカの予想は次のように書き直すこともできます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$

${\displaystyle g_{n}}}+1.}$

イムラン・ゴーリーは、最大素数ギャップのデータを用いて、 1.3002 × 10 ¹⁶までこの予想を確認した。^[2]最大ギャップの表と上記のギャップ不等式を用いると、確認値は4 × 10 ¹⁸まで網羅的に拡張できる。 ${\displaystyle n}$

離散関数は、反対側の図にプロットされています。 の最高値は、n  = 1、2、4で発生し、 A ₄ ≈ 0.670873... となり、最初の 10 ⁵個の素数の中でこれより大きい値はありません。 Andrica 関数はnが増加するにつれて漸近的に減少するため、 nが大きくなるにつれて差を大きくするには、ますます大きくなる素数ギャップが必要です。 したがって、この推測が正しい可能性は非常に高いと思われますが、これはまだ証明されていません。 ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$${\displaystyle A_{n}}$

アンドリカの予想の一般化として、次の式が考えられています。

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

ここで、 はn番目の素数であり、x は任意の正の数です。 ${\displaystyle p_{n}}$

xの最大の解は、x _max = 1のときn = 1 のときに発生することが容易にわかります。 x の最小の解は、n = 30 のときに発生するx _min  ≈ 0.567148... ( OEISのシーケンスA038458 )であると推測されます 。

この予想は不等式、一般化されたアンドリカ予想 としても述べられている。

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}}}$のために${\displaystyle x<x_{\min }.}$

• クラメールの予想
• ルジャンドルの予想
• フィロズバクトの推測

• ガイ、リチャード K. (2004)。「セクション A8」。数論における未解決問題(第 3 版) 。Springer - Verlag。ISBN 978-0-387-20860-2.ZBL1058.11001  。​

• PlanetMathでの Andrica の予想
• PlanetMathにおける一般化されたアンドリカ予想
• https://drive.google.com/file/d/1jWbjCbTn5Tf0twXJJochRt7ONwqs6l3D/view?usp=sharing