2D適応フィルタ

2次元 (2D) 適応フィルタは、何らかの最適化手法に従って、プロセス全体を通じてパラメータが適応的に更新される線形システムであるという点で、1 次元適応フィルタと非常によく似ています。1D 適応フィルタと 2D 適応フィルタの主な違いは、前者は通常、因果関係の制約を意味する時間に関する信号を入力として受け取るのに対し、後者は通常因果関係のない空間領域の xy 座標などの 2 次元の信号を処理することです。さらに、1D フィルタと同様に、アルゴリズムが複雑で反復的な性質を持つため、ほとんどの 2D 適応フィルタはデジタル フィルタです。

2D適応フィルタのトピックは、2D信号の非定常統計特性を考慮できる能力があるため、電気工学と信号処理において非常に重要です。適応フィルタは、ノイズ除去、信号予測、イコライゼーション、エコー除去などの分野で応用されています。2D適応フィルタの応用例としては、画像ノイズ除去、 ^[1]、モーショントラッキング、^[2]、 OFDMチャネル推定、^[3]、磁気記録イコライゼーション^[4]などがあります。

2D 適応フィルタは、システムを識別するために使用できます。未知のシステムのシステム関数は で与えられ、 は出力が安定するときの 2D 適応フィルタのシステム関数です。未知のシステム出力と適応フィルタ出力 の間の誤差信号は、未知のシステムと既知の 2D 適応フィルタの入力が同じで、結果の出力が類似している場合に最小化されます。次に、は で表すことができることが示されます。は、未知のシステムのシステム識別モデルとして知られています。 ${\displaystyle P(z_{1},z_{2})}$${\displaystyle H(z_{1},z_{2})}$${\displaystyle e(n_{1},n_{2})}$${\displaystyle d(n_{1},n_{2})}$${\displaystyle y(n_{1},n_{2})}$${\displaystyle P(z_{1},z_{2})}$${\displaystyle H(z_{1},z_{2})}$${\displaystyle H(z_{1},z_{2})}$

デジタル信号処理では、任意の線形シフト不変システムは、信号とフィルタのインパルス応答の畳み込みによって表すことができ、次の式で表されます。

${\displaystyle y(n_{1},n_{2})=\sum _{m_{1}}\sum _{m_{2}}w(m_{1},m_{2})x(n_{1}-m_{1},n_{2}-m_{2})}$

このシステムが望ましい応答をモデル化する場合、 2 つの応答間の誤差を評価する 何らかのコスト関数に従って重み値を継続的に調整することで、適応型システムを取得できます。${\displaystyle d(n_{1},n_{2})}$${\displaystyle F[e(n_{1},n_{2})]}$

${\displaystyle e(n_{1},n_{2})=d(n_{1},n_{2})-y(n_{1},n_{2})}$
${\displaystyle w_{j+1}(n_{1},n_{2})=w_{j}(n_{1},n_{2})+F[e(n_{1},n_{2} )]}$

最小平均二乗（LMS）適応フィルタ ^[5] は、最も一般的な誤差測定方法である平均二乗誤差を使用します。2D LMS適応フィルタは、フィルタの係数を調整することで出力平均二乗値を最小化する1D LMS適応フィルタの主な方法から派生しています。フィルタには、主要な2D入力信号dと参照入力信号xがあります。主要な入力信号dは、理想的な信号とノイズ成分で構成されています。フィルタは、インパルス応答を持つN×Nの因果FIRフィルタです。次に、フィルタ出力は次の式で得られます。 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle y(n_{1},n_{2})=\sum _{m_{1}=0}^{N-1}\sum _{m_{2}=0}^{N-1} w_{j}(m_{1},m_{2})x(n_{1}-m_{1},n_{2}-m_{2})}$

ここで、j は適応フィルタの反復回数です。

j番目の反復における 誤差信号は次のように定義される。${\displaystyle e_{j}}$

${\displaystyle e_{j}=d(n_{1},n_{2})-\sum _{m_{1}=0}^{N-1}\sum _{m_{2}=0}^ {N-1}w_{j}(m_{1},m_{2})x(n_{1}-m_{1},n_{2}-m_{2})}$

次の反復における重み行列は、現在の重み行列に平均二乗誤差の負の勾配に比例する変化を加えた値に等しくなります。2 次元 LMS 適応フィルタの場合、フィルタ係数は次のように更新されます。

${\displaystyle w_{j+1}(n_{1},n_{2})=w_{j}(n_{1},n_{2})+2\mu e_{j}x(n_{1} ,n_{2})}$

ここで、収束速度とフィルタの安定性を制御できるスケーラ乗数を制御しま す。 ${\displaystyle \mu}$

利点: TDLMS 適応フィルタは、行列演算や平均化、微分化を一切行わずに実装できます。アルゴリズムの収束は初期条件に依存せず、任意の初期値に収束するため、非定常画像で優れたパフォーマンスを発揮します。

デメリット: TDLMS 適応フィルタの期待値の正確な値は、その追跡能力を維持する必要がある場合、固定値に収束しません。したがって、μ の設計上の選択は特定のアプリケーションに依存し、収束速度、追跡能力、および定常 MSE の間でトレードオフが発生します。

2次元LMS IIR適応フィルタの基本的な考え方は2次元LMS FIR適応フィルタと同じですが、IIRフィルタを使用しているため、フィルタ次数要件が軽減されます。^[6] 2次元IIRフィルタの差分方程式は次のように表すことができます 。

${\displaystyle y(n_{1},n_{2})=\sum _{m_{1}=0}^{M_{1}}\sum _{m_{2}=0}^{M_{2}}a(m_{1},m_{2})x(n_{1}-m_{1},n_{2}-m_{2})-{\sum _{m_{1}=0}^{L_{1}}\sum _{m_{2}=0}^{L_{2}}}_{(m_{1},m_{2})\neq (0,0)}b(m_{1},m_{2})y(n_{1}-m_{1},n_{2}-m_{2})}$

ここで、と はそれぞれ適応フィルタの出力と入力です。と はフィルタの入力と出力のマスクです。誤差信号は次のように表されます。 ${\displaystyle y(n_{1},n_{2})}$${\displaystyle x(n_{1},n_{2})}$${\displaystyle b(m_{1},m_{2})}$${\displaystyle a(m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle e(n_{1},n_{2})=d(n_{1},n_{2})-y(n_{1},n_{2})}$

ここで、主な出力信号です。 ${\displaystyle d(n_{1},n_{2})}$

フィルタの重みを最適なフィルタの重みに収束するように更新することで、 平均二乗誤差が最小化されます。${\displaystyle E\{e^{2}(n_{1},n_{2})\}}$

利点: IIR フィルターはフィルターの次数要件を削減できるため、規定の周波数応答を満たすことができます。

デメリット: 適応型 LMS IIR 適応フィルタのパフォーマンス面は非二次的であり、局所的最小値を持つ可能性があります。一方、適応型 IIR フィルタは適応中に不安定になる可能性があるため、何らかの安定性監視が必要です。

2D再帰最小二乗適応フィルタ ^[7]は、1D再帰最小二乗フィルタを水平方向と垂直方向の両方に適用することで開発できます。RLS適応は、重み付き最小二乗コスト関数を最小化するためにフィルタ係数を再帰的に求めるアルゴリズムです。RLSアルゴリズムは、平均二乗誤差の削減を目的とする最小平均二乗アルゴリズムとは異なり、入力信号は決定論的であると見なされます。このため、RLSアルゴリズムは収束が速いという特徴があります。

利点: RLS アルゴリズムは収束が速いという特徴があります。RLS アルゴリズムに基づく画像ノイズ除去の精度は、2D LMS 適応フィルタよりも優れています。

デメリット: RLS アルゴリズムでは、特に 2 次元および多次元の場合に大量の計算が必要になります。

2D適応フィルタを実装する便利な方法の1つは、辞書式順序付けによって2D問題を1D問題に変換することです。^[5]これにより実装が簡素化され、1D適応フィルタに関する広範な文献の恩恵を受けることができ、既存の1Dアルゴリズムをすべて活用できるようになります。

マクレラン変換 ^[8]は、変換関数を使用して1Dフィルタ設計を2Dフィルタ設計に変換するために使用できます。この理論により、既存の1Dプロトタイプフィルタから2D適応フィルタ^[9]を設計できます。直接的なアプローチと比較して、このシステムには計算の複雑さが低く、収束速度が速いという利点があります。ただし、適切に機能するには、変換関数パラメータを正しく選択するためのシステムに関する事前情報が必要であり、システムが事前に制約されます。

ブロック対角2D適応フィルタは、従来の適応フィルタのようにサンプルごとに重み調整を行うのではなく、ブロックを介して信号をスキャンし、各ブロックごとに重み調整を行う代替アプローチ^[10]です。この種のシステムの利点は、両方の次元に沿った信号相関を考慮に入れることです。一方、信号の局所的な定常性が高いと想定されます。