ツェルメロの圏定理

ツェルメロの圏定理は、1930 年にエルンスト ツェルメロによって証明されました。これは、集合論のツェルメロ-フランケル公理​​の特定の 2 次バージョンのすべてのモデルが、特定の集合クラスのメンバーと同型であることを示しています。

ツェルメロ-フランケル集合論を表すが、置換公理の2次バージョンは次のように定式化される: ^[1]${\displaystyle \mathrm {ZFC} ^{2}}$

${\displaystyle \forall F\forall x\exists y\forall z(z\in y\iff \exists w(w\in x\land z=F(w)))}$

、すなわち、置換公理図式の2階普遍閉包である。^{[2] p. 289}すると、任意のモデルは、あるアクセス不可能な基数に対して、フォン・ノイマン階層内の集合に同型になる。^[3]${\displaystyle \mathrm {ZFC} ^{2}}$${\displaystyle V_{\kappa}}$ ${\displaystyle \kappa}$

ツェルメロはもともと を 元 とするバージョンを考えた。現代の満足関係 を使用する代わりに、彼はを満たす真の関係を伴う集合の集合を「正規領域」と定義した。^{[4] p. 9}${\displaystyle \mathrm {ZFC} ^{2}}$${\displaystyle \vダッシュ}$${\displaystyle \in}$${\displaystyle \mathrm {ZFC} ^{2}}$

デデキントは、モデルが真の自然数と同型である場合に限り、2階ペアノ公理がモデルで成立することを証明した。^{[4] pp. 5–6 [3] p. 1}ウズキアーノは、置換形式を削除し、2階バージョンの分離を伴う2階バージョンのツェルメロ集合論を考慮すると、極限順序数に対してどのモデルとも同型ではないモデルが存在することを証明した。^{[5] p. 396}${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}^{2}}$${\displaystyle V_{\delta}}$${\displaystyle \delta >\omega }$