標準正規表

統計学において、標準正規表（標準正規分布）は単位正規表またはZ表とも呼ばれ、^{[1] は}正規分布の累積分布関数Φの値の数学的表である。これは、統計量が標準正規分布、さらには任意の正規分布の値の下、上、または間に観測される確率を求めるのに用いられる。正規分布には無限の種類があり、確率表をあらゆる正規分布に対して印刷することはできないため、正規分布を標準正規分布（Zスコアと呼ばれる）に変換し、標準正規表を使用して確率を求めるのが一般的である。^[2]

正規分布は対称的なベル型の分布で、現実世界のデータを説明するのに役立ちます。Zで表される標準正規分布は、平均が 0 で標準偏差が 1 の正規分布です。

X が平均μと標準偏差σの正規分布からのランダム変数である場合、そのZ スコアは、Xからμ を減算し、標準偏差で割ること で計算できます。

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}}$

平均がμで標準偏差がσである母集団から抽出したサイズnの標本の平均を とすると、標準誤差は⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}:}$

${\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}}$

平均がμで標準偏差がσである母集団から抽出したサイズnの標本の合計が である場合、期待合計はnμで標準誤差は⁠ ⁠${\textstyle \sum X}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}:}$

${\displaystyle Z={\frac {\sum {X}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}}$

Zテーブルは通常、次のように構成されます。

• 行のラベルには、Zの整数部分と小数点第 1 位が含まれます。
• 列のラベルには、Zの小数点第 2 位が含まれます。
• 表内の値は、表の種類に対応する確率です。これらの確率は、開始点 (平均からの累積の場合は 0 、累積の場合は負の無限大、補完累積の場合は正の無限大) からZまでの正規曲線の下の領域の計算です。

例: 0.69 を見つけるには、行を下に見て0.6 を見つけ、次に列を横切って0.09を見つけます。これにより、平均表からの累積では確率0.25490 、累積表では確率0.75490が得られます。

-0.83のような負の値を見つけるには、負のz値の累積表^[3]を使用すると、確率は0.20327になります。

しかし、正規分布曲線は対称的であるため、Zの正の値に対する確率のみが通常与えられます。ユーザーは、以下の例のように、 Zの絶対値に対して補完演算を使用する必要がある場合があります。

Zテーブルでは、少なくとも 3 つの異なる規則が使用されます。

平均からの累積

統計が 0 (平均) とZの間になる確率を返します。例: Prob(0 ≤ Z ≤ 0.69) = 0.2549。

累積

統計量がZより小さい確率を返します。これはZより下の分布の領域に相当します。例: Prob(Z ≤ 0.69) = 0.7549。

補完的累積

統計がZより大きい確率を返します。これは、 Zより上の分布の領域に相当します。

例: Prob( Z ≥ 0.69)を求めます。これはZより上の領域の部分なので、 Zより大きい割合は1 からZ を引くことで求められます。つまり、Prob( Z ≥ 0.69) = 1 − Prob(Z ≤ 0.69)またはProb( Z ≥ 0.69) = 1 − 0.7549 = 0.2451となります。

この表は、統計がマイナス無限大とZの間になる確率を示します。

${\displaystyle f(z)=\Phi (z)}$

値は、平均がゼロで標準偏差が1の標準正規分布の累積分布関数を使用して計算され、通常は大文字のギリシャ文字（ファイ）で表され、積分です。 ${\displaystyle \Phi}$

${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}\ 、dt}$

${\displaystyle \Phi}$(z)は誤差関数、つまりerf( z )と関係があります。

${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$

z = 1, 2, 3の場合、 [− z , z ]区間を考慮して 2 を掛けると、 68–95–99.7 ルールの特性であるf ( z ) = 0.6827, 0.9545, 0.9974 という結果が得られることに注意してください。

この表は、統計がZ未満である確率(つまり、負の無限大とZの間) を示します。

^[4]

この表は、統計がZより大きい確率を示します。

${\displaystyle f(z)=1-\ファイ (z)}$

^[5]

この表は、大きな整数Z値 に対して、統計がZより大きい確率を示します。

教授の試験の点数は、平均 80、標準偏差 5 でほぼ正規分布しています。平均からの累積表のみが利用可能です。

• 学生が 82 点以下を取る確率はどれくらいでしょうか?$${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {82-80}{5}}\right)\\&=P(Z\leq 0.40)\\[2pt]&=0.15542+0.5\\[2pt]&=0.65542\end{aligned}}}$$
• 生徒が 90 点以上を取る確率はどれくらいでしょうか?$${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\geq 90)&=P\!\!\left(Z\geq {\frac {90-80}{5}}\right)\\&=P(Z\geq 2.00)\\[2pt]&=1-P(Z\leq 2.00)\\[2pt]&=1-(0.47725+0.5)\\[2pt]&=0.02275\end{aligned}}}$$
• 生徒の得点が 74 以下になる確率はどれくらいでしょうか。この表にはマイナスの値は含まれていないため、プロセスには次の追加手順が含まれます。$${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\leq 74)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {74-80}{5}}\right)\\&=P(Z\leq -1.20)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \qquad \quad ={}&P(Z\geq 1.20)\\[2pt]={}&1-(0.38493+0.5)\\[2pt]={}&0.11507\end{aligned}}}$$
• 学生が 74 点から 82 点を取る確率はどれくらいでしょうか?$${\displaystyle {\begin{aligned}P(74\leq X\leq 82)&=P(X\leq 82)-P(X\leq 74)\\[2pt]&=0.65542-0.11507\\[2pt]&=0.54035\end{aligned}}}$$
• 3 つのスコアの平均が 82 以下になる確率はどれくらいでしょうか?$${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\left(Z\leq {\frac {82-80}{5/{\sqrt {3}}}}\right)\\&=P(Z\leq 0.69)\\[2pt]&=0.2549+0.5\\[2pt]&=0.7549\end{aligned}}}$$