ヴィエノの幾何学的構成

数学において、ヴィエノの幾何学的構成（ザビエ・ジェラール・ヴィエノにちなんで名付けられた）は、ロビンソン・シェンステッド対応を影の線で図式的に解釈するものである。これは、行列球構成として知られるロビンソン・シェンステッド・クヌース対応に一般化されている。

2行表記で書かれた順列 から始めて、次のように言います。 ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\\sigma _{1}&\sigma _{2}&\cdots &\sigma _{n}\end{pmatrix}},}$

この順列にロビンソン・シェンステッド対応を適用すると、同じ形状の2 つの標準的なヤングのタブローPとQ が生成されます。P は挿入シーケンスを実行することによって取得され、Q は記録タブローであり、ボックスがどの順序で埋められたかを示します。

ヴィエノの構成は、平面に点をプロットすることから始まります。原点から光が差し込み、真上と右に影を落としていると想像します。これにより、他の点によって影がかかっていない点を考慮することができます。その場合、それらの影の境界が最初の影の線を形成します。これらの点を削除して手順を繰り返すと、この順列のすべての影の線が得られます。ヴィエノの洞察は、これらの影の線がPとQの最初の行を読み取るというものです(実際はそれ以上です。これらの影の線は「タイムライン」を形成し、連続した挿入後にどの要素がPとQの最初の行を形成したかを示します)。次に、以前のラベルのないコーナーを新しい点として使用して構成を繰り返すと、PとQの他の行を読み取ることができます。 ${\displaystyle (i,\sigma _{i})}$

例えば、順列を考えてみましょう

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\3&8&1&2&4&7&5&6\end{pmatrix}}.}$

すると、Viennot の構築は次のようになります。

ヴィエノの幾何学的構成を用いると、 がロビンソン-シェンステッド対応のもとでタブローP、Qのペアに対応する場合、 が入れ替わったペアQ、Pに対応することを証明できます。確かに、 を とることは-軸におけるヴィエノの構成を反映しており、これはPとQの役割を正確に入れ替えます。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma ^{-1}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma ^{-1}}$${\displaystyle y=x}$

• プラクティックモノイド
• タカンゲーム

• ブルース・E・セーガン『対称群』シュプリンガー、2001年。