トリチェリの方程式

物理学において、トリチェリの方程式、またはトリチェリの公式は、エヴァンジェリスタ・トリチェリによって作成された方程式であり、既知の時間間隔を持たずに軸（たとえば、x 軸）に沿って 一定の加速度で移動する物体の最終速度を求めるために作成されました。

方程式自体は次の通りである: ^[1]

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x\,}$

どこ

• ${\displaystyle v_{f}}$加速度が一定である x 軸に沿った物体の最終速度です。
• ${\displaystyle v_{i}}$物体のx軸に沿った初期速度です。
• ${\displaystyle a}$は、X 軸に沿った物体の加速度であり、定数として与えられます。
• ${\displaystyle \Delta x\,}$は、オブジェクトの x 軸に沿った位置の変化であり、変位とも呼ばれます。

この式およびこの記事の以降のすべての式では、下付き文字（ の場合）が暗示されていますが、式をわかりやすくするために明示的には表現されていません。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle {v_{f}}_{x}}$

この方程式は、加速度が一定である任意の軸に沿って有効です。

等加速度の場合の次の関係から始めます。

（１）の両辺に加速度を掛ける${\textstyle a}$

右辺を次のように並べ替えると、次の置換が認識しやすくなります。

（2）を使って製品を置き換えます： ${\textstyle at}$

掛け算を計算します:

交差項は互いに消え去り、二乗項だけが残ります。 ${\textstyle v_{i}v_{f}}$

（７）は、本稿の冒頭で示したトリチェリの式の形に変形される。

速度の微分としての加速度の定義から始めます。

${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}}$

ここで、両辺に速度を掛けます。 ${\textstyle v}$

${\displaystyle v\cdot a=v\cdot {\frac {dv}{dt}}}$

左側では、速度を位置の微分として書き直すことができます。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}\cdot a=v\cdot {\frac {dv}{dt}}}$

両辺を掛け合わせると次のようになります。 ${\textstyle dt}$

${\displaystyle dx\cdot a=v\cdot dv}$

用語をより伝統的な方法で並べ替えると次のようになります。

${\displaystyle a\,dx=v\,dv}$

位置と速度を持つ最初の瞬間から位置と速度を持つ最後の瞬間まで両辺を積分すると、次のようになります。 ${\textstyle x_{i}}$${\textstyle v_{i}}$${\textstyle x_{f}}$${\textstyle v_{f}}$

${\displaystyle \int _{x_{i}}^{x_{f}}{a}\,dx=\int _{v_{i}}^{v_{f}}v\,dv}$

加速度は一定なので、積分から除外することができます。

${\displaystyle {a}\int _{x_{i}}^{x_{f}}dx=\int _{v_{i}}^{v_{f}}v\,dv}$

統合を解決する:

${\displaystyle {a}{\bigg [}x{\bigg ]}_{x=x_{i}}^{x=x_{f}}=\left[{\frac {v^{2}}{2}}\right]_{v=v_{i}}^{v=v_{f}}}$

${\displaystyle {a}\left(x_{f}-x_{i}\right)={\frac {v_{f}^{2}}{2}}-{\frac {v_{i}^{2}}{2}}}$

要因は変位です: ${\textstyle x_{f}-x_{i}}$${\textstyle \Delta x}$

${\displaystyle a\Delta x={\frac {1}{2}}\left(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right)}$

${\displaystyle 2a\Delta x=v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x}$

仕事エネルギー定理によれば、

${\displaystyle \Delta E_{K}=W}$

${\displaystyle {\frac {m}{2}}\left(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right)=F\Delta x}$

これはニュートンの運動の 第二法則から、

${\displaystyle {\frac {m}{2}}\left(v_{f}^{2}-v_{i}^{2}\right)=ma\Delta x}$

${\displaystyle v_{f}^{2}-v_{i}^{2}=2a\Delta x}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta x}$

• 運動方程式

• トリチェリの定理