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3つのカップの問題（ 3つのカップの挑戦などとも呼ばれる）は、最も一般的な形では解くことのできない数学パズルである。
問題開始時、カップ1個は逆さまになっており、残りの2個は正立しています。目標は、 6手以内で全てのカップを正立させることです。各手番でちょうど2個のカップをひっくり返してください。
このパズルの解ける（ただし簡単な）バージョンは、カップ1つが正立、2つが逆さまになっている状態から始まります。1回の操作でパズルを解くには、逆さまになっている2つのカップを上に向けます。そうすると、3つのカップすべてが正立します。マジックトリックとして、マジシャンは解けるバージョンを複雑な方法で演じ、その後、観客の1人に解けないバージョンを解くように頼むことができます。[ 1 ]
（逆さまになっているカップが1つだけの場合でも）この問題が解決不可能であることを確認するには、逆さまになっているカップの数に注目すれば十分です。この数をで表すと問題の目標は変更することです1から0へ、つまりこの問題には、どの動きも変化をもたらすため、解決不可能です。偶数で。1回の移動で2つのカップが反転し、各反転で変化するため。による（カップが正しい向きだった場合）または（そうでなければ）動きが変わる2つの奇数の和は偶数であり、これで証明が完了する。
別の見方をすると、最初はカップが2つ「正しい」向きで、1つ「間違った」向きになっている。正しいカップ1つと間違ったカップ1つを入れ替えても、状況は変わらない。正しいカップを2つ入れ替えると、間違ったカップが3つになるが、次の操作で元の1つの間違ったカップの状態に戻る。したがって、どんな操作をしても、間違ったカップが3つになるか1つになるかのどちらかになり、間違ったカップが0個になることはない。
より一般的に言えば、この議論は、カップの数に関係なく、最初は奇数であれば 0 に。一方、均等であれば、カップを一度に 2 つずつ逆さまにすると、最終的には0に等しい。
