トムソンのランプ

トムソンのランプは無限に基づいた哲学的なパズルです。1954年にイギリスの哲学者ジェームズ・F・トムソンによって考案され、彼はこれを、無限の数のタスクを完了するというスーパータスクの可能性を分析するために使用しました。

トグルスイッチ付きのランプを考えてみましょう。スイッチを一度押すとランプが点灯します。もう一度押すとランプが消えます。ここで、次のような作業を実行できる存在がいるとします。タイマーをスタートし、ランプをオンにします。1 分が経過したら、オフにします。次の 30 秒が経過したら、再びオンにします。次の 15 秒が経過したら、オフにします。次の 8 分の 1 分が経過したら、再びオンにします。これを繰り返し、前回スイッチを入れる前に待った時間のちょうど半分の時間を待ってから、スイッチを入れます。^{[1]この時間間隔の}無限の系列 の合計は、ちょうど 2 分です。^[2]

次に次の質問が考えられます。ランプは2分後に点灯しますか、それとも消灯しますか？^[1]トムソンは、このスーパータスクが矛盾を生み出すと推論しました。

この質問に答えるのは不可能に思えます。ランプが点灯しているはずがありません。なぜなら、ランプをオンにしたらすぐにオフにしたことがないからです。ランプがオフになっているはずがありません。なぜなら、最初にランプをオンにしたのに、その後はランプをオンにせずにオフにしたことがないからです。しかし、ランプはオンかオフのどちらかでなければなりません。これは矛盾です。^[1]

この問題はグランディ級数、すなわち発散無限級数 の振る舞いに関するものである。

• S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

nが偶数値の場合、上記の有限級数の合計は 1 になり、奇数値の場合は 0 になります。言い換えると、n が0、1、2、3、...の各非負整数の値を順に取ると、級数は{1、0、1、0、...}というシーケンスを生成し、ランプの状態の変化を表します。 ^[3] nが無限大に近づいてもシーケンスは収束しないため、無限級数も収束しません。

この問題を説明する別の方法は、次の数列を並べ替えることです。

• S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)

括弧内の終わりのない級数は、元の級数Sとまったく同じです。つまり、S = 1 − Sであり、S = ¹ ⁄ ₂を意味します。実際、この操作は厳密に正当化できます。グランディ級数に値¹ ⁄ _{2を割り当てる}級数の和の一般化された定義があります。

トムソンが1954年に発表した論文の目的の一つは、スーパータスクをその級数的類似性と区別することであった。彼はランプとグランディ級数について次のように書いている。

ランプが点灯しているか消灯しているかという問題は、無限発散列の和がいくらかという問題です。

+1、-1、+1、…？

さて、数学者はこの数列には和があると言っています。彼らはその和が¹ ⁄ ₂だと言っています。そしてこの答えは役に立ちません。なぜなら、ここではランプが半分点灯していると言うことに意味を見出していないからです。私はこれを、超タスクが完了したときに何が行われるかを決定する確立された方法が存在しないことを意味すると解釈しています。…タスクまたはタスクが行われたという考えがあり、超限数に精通しているからといって、この考えを理解できるとは期待できません。^[4]

その後、彼は、級数の発散でさえもその超課題に関する情報を提供しないと主張している。「超課題の不可能性は、漠然と関連していると感じられる算術級数が収束するか発散するかにはまったく依存しない。」^[5]

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• ゼノマシン

• アレン、ベンジャミン・ウィリアム（2008年）。『ゼノン、アリストテレス、競馬場、アキレス：歴史と哲学の探究』ニューブランズウィック、ニュージャージー：ラトガース、ニュージャージー州立大学。pp. 209–210。ISBN 97811090584372014年6月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• ベナセラフ、ポール（1962）。 「タスク、スーパータスク、そして現代のエレア派」。哲学ジャーナル。59 （24 ）：765–784。doi ：10.2307/2023500。JSTOR  2023500。
• ハゲット、ニック (2010)。『どこでも、いつでも：物理学と哲学の冒険：物理学と哲学の冒険』オックスフォード大学出版局。22～23 ページ。ISBN 9780199702114。
• トムソン、ジェームズ F. (1954 年10月)。 「タスクとスーパータスク」。分析。15 (1)。分析、第15巻、第 1 号: 1–13。doi :10.2307/3326643。JSTOR  3326643。
• Earman, John および Norton, John (1996) 「無限の苦痛: スーパータスクの問題点」 Benacerraf とその批評家たち、Adam Morton および Stephen P. Stich (編)、p. 231-261。