トーマス・フェルミ方程式

数学において、 中性原子のトーマス・フェルミ方程式は、ルウェリン・トーマスとエンリコ・フェルミにちなんで名付けられた2階非線形常微分方程式である^{[ 1 ] [ 2 ]。}これは、トーマス・フェルミモデルを原子に適用することによって導出できる。方程式は次のようになる。

$\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {x}}}y^{3/2}}$

境界条件^{[ 3 ]に従う}

${\displaystyle y(0)=1,\quad \quad {\begin{cases}y(\infty )=0\quad {\text{中性原子の場合}}\\y(x_{0})=0\quad {\text{正イオンの場合}}\\y(x_{1})-x_{1}y'(x_{1})=0\quad {\text{圧縮された中性原子の場合}}\end{cases}}}$

もし${\displaystyle y}$に近づくにつれてゼロに近づく${\displaystyle x}$が大きくなると、この方程式は中性原子の電荷分布を半径の関数としてモデル化する。${\displaystyle x}$解決策${\displaystyle y}$有限値でゼロになる${\displaystyle x}$正イオンをモデル化する。^{[ 4 ]} 溶液の場合、${\displaystyle y}$大きく正の値になる${\displaystyle x}$が大きくなると、電荷がより小さな空間に押し込められた圧縮原子のモデルとして解釈できます。この場合、原子は の値で終わります。${\displaystyle x}$そのために${\displaystyle dy/dx=y/x}$[ ^{5 ] [ 6 ]​}

変革の導入${\displaystyle z=y/x}$方程式を変換して

$\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}{\frac {d}{dx}}\left(x^{2}{\frac {dz}{dx}}\right)-z^{3/2}=0}$

この方程式は、ポリトロピック指数を用いたレーン・エムデン方程式に類似している。${\displaystyle 3/2}$符号の違いを除いて。元の式は変換の下で不変である。${\displaystyle x\rightarrow cx,\ y\rightarrow c^{-3}y}$したがって、 を導入することで、この方程式を等次元にすることができる。${\displaystyle y=x^{-3}u}$方程式に組み込むと、

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-6x{\frac {du}{dx}}+12u=u^{3/2}}$

そのため、置換${\displaystyle x=e^{t}}$方程式を簡略化すると

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-7{\frac {du}{dt}}+12u=u^{3/2}.}$

治療${\displaystyle w=du/dt}$従属変数として、${\displaystyle u}$独立変数として、上記の式を次のように簡略化できます。

${\displaystyle w{\frac {dw}{du}}-7w=u^{3/2}-12u.}$

しかし、この一次方程式には既知の明示的な解が存在しないため、数値解法または近似解法を用いる必要がある。

この方程式には特殊解が存在する。${\displaystyle y_{p}(x)}$境界条件を満たす${\displaystyle y\rightarrow 0}$として${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ただし、境界条件y (0)=1 は満たさない。この特定の解は

${\displaystyle y_{p}(x)={\frac {144}{x^{3}}}.}$

アーノルド・ゾンマーフェルトはこの特定の解法を用い、1932年に他の境界条件を満たす近似解を提供した。^{[ 7 ]}変換が${\displaystyle x=1/t,\ w=yt}$が導入されると、方程式は次のようになる。

${\displaystyle t^{4}{\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}=w^{3/2},\quad w(0)=0,\ w(\infty )\sim t.}$

変換された変数の特殊解は次のようになります。${\displaystyle w_{p}(t)=144t^{4}}$なので、次のような形式の解を想定する。${\displaystyle w=w_{p}(1+\alpha t^{\lambda })}$そしてこれを上記の式に代入すると、係数は${\displaystyle \alpha }$これらを等しいとすると、次の値が得られます。${\displaystyle \lambda }$これは、方程式の根によって与えられる。${\displaystyle \lambda ^{2}+7\lambda -6=0}$2つの根は${\displaystyle \lambda _{1}=0.772,\ \lambda _{2}=-7.772}$ここで、原点での特異点を避けるために正の根を取る必要があります。この解はすでに最初の境界条件を満たしています（${\displaystyle w(0)=0}$）、したがって、2番目の境界条件を満たすために、任意のに対して同じ精度で記述します。${\displaystyle n}$

${\displaystyle W=w_{p}(1+\beta t^{\lambda })^{n}=[144t^{3}(1+\beta t^{\lambda })^{n}]t.}$

2番目の境界条件は、以下の場合に満たされます。${\displaystyle 144t^{3}(1+\beta t^{\lambda })^{n}=144t^{3}\beta ^{n}t^{\lambda n}(1+\beta ^{-1}t^{-\lambda })^{n}\sim 1}$として${\displaystyle t\rightarrow \infty }$この条件は、以下の場合に満たされます。${\displaystyle \lambda n+3=0,\ 144\beta ^{n}=1}$そしてそれ以来${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=-6}$ゾンマーフェルトは近似式を次のように見つけた。${\displaystyle \lambda =\lambda _{1},\ n=-3/\lambda _{1}=\lambda _{2}/2}$したがって、近似解は次のようになります。

${\displaystyle y(x)=y_{p}(x)\{1+[y_{p}(x)]^{\lambda _{1}/3}\}^{\lambda _{2}/2}.}$

このソリューションは、大規模な場合、正しいソリューションを正確に予測します。${\displaystyle x}$しかし、原点付近では依然として失敗する。

エンリコ・フェルミ^{[ 8 ]}は、${\displaystyle x\ll 1}$そして後にエドワード・B・ベイカーによって拡張された。^{[ 9 ]}したがって${\displaystyle x\ll 1}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)={}&1-Bx+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {2B}{15}}x^{4}+\cdots {}\\[6pt]&\cdots +x^{3/2}\left[{\frac {4}{3}}-{\frac {2B}{5}}x+{\frac {3B^{2}}{70}}x^{2}+\left({\frac {2}{27}}+{\frac {B^{3}}{252}}\right)x^{3}+\cdots \right]\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle B\approx 1.588071}$[ ^{10 ] [ 11 ]​}

サルヴァトーレ・エスポジートによれば、イタリアの物理学者エットーレ・マヨラナは1928年に中性原子のトーマス・フェルミ方程式の半解析級数解を発見したが、それは2001年まで未発表のままであった。このアプローチを用いると、上述の定数Bを実質的に任意の精度で計算することが可能となる。^{[ 12 ]}