スーパープライム

スーパー素数は、高次素数または素数インデックス素数( PIP )とも呼ばれ、すべての素数のシーケンス内で素数の位置を占める素数の部分シーケンスです。言い換えると、素数が序数と一致する場合、素数 2 が序数 1 と一致することから始まり、素数の序数と一致する素数がスーパー素数です。

サブシーケンスは

3、5、11、17、31、41、59、67、83、109、127、157、179、191、211、241、277、283、331、353、367、401、431、461、509、547、563、587、599、617、709、739、773、797、859、877、919、967、991、...（OEISのシーケンスA006450 ）。

つまり、p ( n ) がn番目の素数を表す場合、この数列の数字はp ( p ( n )) という形式になります。

ドレスラーとパーカー (1975) は、コンピュータ支援による証明 (部分集合の和の問題を含む計算に基づく) を使用して、96 より大きいすべての整数は、異なるスーパー素数の和として表すことができるということを示しました。彼らの証明は、ベルトランの公理に似た結果に依存しており、(スーパー素数 5 と 11 の間の大きな差の後では) 各スーパー素数は、数列内の前の数の 2 倍未満であると述べています。

Broughan & Barnett (2009)は、

${\displaystyle {\frac {x}{(\log x)^{2}}}+O\left({\frac {x\log \log x}{(\log x)^{3}}}\right)}$

xまでのスーパー素数。これを使って、すべてのスーパー素数の集合が小さいことを示すことができます。

「高次の」素数性もほぼ同じ方法で定義し、類似の素数列を取得することもできます (Fernandez 1999)。

このテーマのバリエーションとして、回文素数インデックスを持つ素数の列があり、

3、5、11、17、31、547、739、877、1087、1153、2081、2381、...（OEISの配列A124173）。

• ベイレス、ジョナサン; クライヴ、ドミニク; オリベイラ・エ・シルバ、トマス (2013)、「素数インデックス付き素数に関する新しい境界と計算」、Integers、13 : A43:1–A43:21、MR  3097157
• Broughan, Kevin A.; Barnett, A. Ross (2009)、「素数添字を持つ素数の部分列について」、Journal of Integer Sequences、12、記事 09.2.3。
• ドレスラー、ロバート E.; パーカー、S. トーマス (1975)、「素数と素数下付き文字」、Journal of the ACM、22 (3): 380–381、doi : 10.1145/321892.321900、MR  0376599。
• フェルナンデス、ニール (1999)、素数の順序、F(p)。

• ドレスラーとパーカーの研究に関連したロシアのプログラミングコンテストの問題