シュトルム・ピコーネ比較定理

数学において、常微分方程式の分野における、ジャック・シャルル・フランソワ・シュトゥルムとマウロ・ピコーネにちなんで名付けられたシュトゥルム・ピコーネ比較定理は、実領域における特定の線型微分方程式の解の振動と非振動の基準を提供する古典的な定理です。

$p i$ 、 $q i$ （ $i = 1, 2）を区間$ $[a 、 b]$ 上の実数値連続関数とし、

$(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0$
$(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0$

自己随伴形式の2つの同次線形2階微分方程式である。

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)

そして

q_{1}(x)\leq q_{2}(x).

$uを$ $z1$ と $z2 に$ 連続する根を持つ(1)の非自明な解とし、vを(2)の非自明な解とする $。$ $この$ とき、以下の性質のうち1つが成り立つ。

$($ $z$ $1$ $,$ $z$ $2$ $)$ に $v$ $($ $x$ $) = 0$ となる $x が$ 存在する、または
Rには $v$ $($ $x$ $) = λ$ $u$ $($ $x$ $)$ となる $λ が$ 存在する。

^{結論の最初の部分は Sturm (1836) [1]}によるもので、定理の 2 番目の部分 (代替部分) は Picone (1910) ^[2]^[3]によるもので、その簡単な証明は、現在では有名なPicone 恒等式を使って与えられています。両方の方程式が同一である特殊なケースでは、Sturm の分離定理が得られます。^[4]

注記

^ C. Sturm、Mémoire sur les équations différentielles linéaires du Second Ordre、J. Math. Pures Appl. 1 (1836)、106–186
^ M. Picone、Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione Differentenziale lineale ordinaria del Second'ordine、Ann.スクオーラノルム。ピサ 11 (1909)、1 ～ 141。
^ Hinton, D. (2005). 「Sturm の 1836 年の振動結果理論の進化」Sturm-Liouville 理論pp. 1–27. doi :10.1007/3-7643-7359-8_1. ISBN 3-7643-7066-1。
^この重要な定理を3つ以上の実2階方程式を含む比較定理に拡張するには、ハルトマン-ミンガレッリ比較定理を参照のこと。この定理では、 ミンガレッリ恒等式を使用して簡単な証明が与えられている。

参考文献

Diaz, JB; McLaughlin, Joyce R. Sturm 常微分方程式と偏微分方程式の比較定理Bull. Amer. Math. Soc. 75 1969 335–339 [1]
Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry、79ページ、Krieger、Huntington ISBN 0-88275-368-1。
Teschl, G. (2012). 常微分方程式と動的システム.プロビデンス:アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-8328-0。

[1] C. Sturm、Mémoire sur les équations différentielles linéaires du Second Ordre、J. Math. Pures Appl. 1 (1836)、106–186

[2] M. Picone、Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione Differentenziale lineale ordinaria del Second'ordine、Ann.スクオーラノルム。ピサ 11 (1909)、1 ～ 141。

[3] Hinton, D. (2005). 「Sturm の 1836 年の振動結果理論の進化」Sturm-Liouville 理論pp. 1–27. doi :10.1007/3-7643-7359-8_1. ISBN 3-7643-7066-1。

[4] ^この重要な定理を3つ以上の実2階方程式を含む比較定理に拡張するには、ハルトマン-ミンガレッリ比較定理を参照のこと。この定理では、 ミンガレッリ恒等式を使用して簡単な証明が与えられている。