強力なポジショナルゲーム

強いポジショナルゲーム（メーカーメーカーゲームとも呼ばれる）は、ポジショナルゲームの一種です。^{[1] : 9–12}ほとんどのポジショナルゲームと同様に、ポジションの集合（ ）と勝利セットの族（- のサブセットの族）によって説明されます。これは、ファーストとセカンドと呼ばれる2人のプレーヤーによってプレイされ、交互に以前に取られていないポジションを取ります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$

強いポジショナル ゲームでは、勝利セットのすべての要素を最初に保持したプレーヤーが勝者になります。すべてのポジションが取られ、どのプレーヤーも勝てない場合は、引き分けになります。古典的な三目並べは、強いポジショナル ゲームの例です。

強いポジショナルゲームでは、Second は勝利戦略を持つことができません。これは戦略盗用論証によって証明できます。Second が勝利戦略を持っていれば、First がそれを盗んで勝つこともできますが、勝者は 1 人しかいないため、これは不可能です。^{[1] : 9}したがって、すべての強いポジショナルゲームでは、First が勝利戦略を持っているか、Second がドロー戦略を持っているかの 2 つのオプションしかありません。

興味深い帰結として、あるゲームにドローポジションがない場合、First には常に勝利戦略があることになります。

すべての強いポジショナル ゲームには、メイカー ブレーカー ゲームというバリエーションがあります。このバリエーションでは、最初のプレーヤー (「メイカー」) のみが勝利セットを保持することで勝利できます。2 番目のプレーヤー (「ブレーカー」) は、メイカーが勝利セットを保持するのを防ぐことによってのみ勝利できます。

と を固定した場合、強いポジショナルバリアントは最初のプレーヤーにとって厳密に困難です。なぜなら、このバリアントでは、最初のプレーヤーは「攻撃」（勝ちセットを獲得しようとする）と「防御」（2番目のプレーヤーが勝ちセットを獲得するのを防ぐ）の両方を行う必要があるからです。一方、メーカーブレーカーバリアントでは、最初のプレーヤーは「攻撃」だけに集中できます。したがって、強いポジショナルゲームでのファーストのすべての勝利戦略は、対応するメーカーブレーカーゲームでのメーカーの勝利戦略でもあります。逆は当てはまりません。たとえば、三目並べのメーカーブレーカーバリアントでは、メーカーは勝利戦略を持ちますが、強いポジショナル（クラシック）バリアントでは、セカンドはドロー戦略を持ちます。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

同様に、強いポジショナルバリアントは、2 番目のプレーヤーにとって厳密に簡単です。つまり、メイカー ブレーカー ゲームにおけるブレーカーのすべての勝利戦略は、対応する強いポジショナル ゲームにおけるセカンドのドロー戦略でもありますが、その逆は当てはまりません。

ファーストが勝利戦略を持っていると仮定します。ここで、新しいセットを に追加します。直感に反して、この新しいセットが勝利戦略を破壊し、ゲームを引き分けにする可能性があります。直感的には、その理由は、ファーストがセカンドがこの追加セットを所有するのを防ぐためにいくつかの動きを費やす必要がある可能性があるためです。^[3]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

追加セットのパラドックスは、Maker-Breaker ゲームでは発生しません。

クリークゲームは、強いポジショナル ゲームの一例です。クリーク ゲームは、2 つの整数 n と N によってパラメータ化されます 。

• ${\displaystyle X}${1,...,N}上の完全グラフのすべての辺を含む。
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$サイズ n のすべてのクリークが含まれます。

ラムゼーの定理によれば、任意のN > R(n,n)に対して、{1,...,N}上の完全グラフの2色塗り分けにおいて、いずれかの色にサイズnのクリークが含まれるような数R(n,n)が存在する。

したがって、上記の帰結により、N > R(n,n)の場合には、Firstは常に勝利戦略をとる。^{[1] : 10}

長さnの d 次元立方体でプレイする三目並べゲームを考えてみましょう。ヘイルズ・ジュエットの定理によれば、dが十分に大きい場合 ( nの関数として)、立方体セルのすべての 2 色塗りには単色の幾何学的線​​が含まれます。

したがって、上記の帰結により、First には常に勝利の戦略があります。

これらの存在論的結果の他に、強ポジショナルゲームに関連する建設的な結果はほとんどありません。たとえば、十分に大きなクリークゲームでは最初のプレーヤーが勝利戦略を持っていることが知られていますが、特定の勝利戦略は現在知られていません。^{[1] : 11–12}