多重性（統計力学）

統計力学において、多重度（統計的重みとも呼ばれる）は、熱力学系の特定のマクロ状態に対応するミクロ状態の数を指します。^[1]一般的には と表記され、孤立系の配置エントロピー^[2]とボルツマンのエントロピー式によって関連しています。 ここではエントロピー、はボルツマン定数です。 ${\displaystyle \オメガ}$ $${\displaystyle S=k_{\text{B}}\log \Omega ,}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle k_{\text{B}}}$

2状態常磁性体の簡略化されたモデルは、特定のマクロ状態の多重度を計算するプロセスの例を提供します。^[1]このモデルは、外部から印加された磁場Bと整列または反整列するN個の微視的双極子μ のシステムで構成されます。外部磁場と整列する双極子の数を 、反整列双極子の数を とします。整列した単一の双極子のエネルギーは であり、反整列双極子のエネルギーはしたがって、システム全体のエネルギーは ${\displaystyle N_{\uparrow}}$${\displaystyle N_{\downarrow}}$${\displaystyle U_{\uparrow }=-\mu B,}$${\displaystyle U_{\downarrow }=\mu B;}$$${\displaystyle U=(N_{\downarrow }-N_{\uparrow })\mu B.}$$

目標は、多重度をUの関数として決定することです。そこから、システムのエントロピーやその他の熱力学的特性を決定できます。ただし、多重度を および の関数として計算することは、中間ステップとして便利です。このアプローチは、使用可能なマクロ状態の数がN + 1であることを示しています。たとえば、N = 2 の双極子を持つ非常に小さなシステムでは、 に対応する 3 つのマクロ状態があります。およびマクロ状態は、両方の双極子がそれぞれ反整列または整列していることを必要とする ため、これらの状態の多重度はどちらも 1 です。ただし、 では、整列した双極子としてどちらの双極子も選択できるため、多重度は 2 です。一般的な場合、整列した双極子を持つ状態の多重度、またはミクロ状態の数は、組み合わせ論から得られ、次のように なります 。ここで、2 番目のステップは、次の事実から得られます。${\displaystyle N_{\uparrow}}$${\displaystyle N_{\downarrow }.}$${\displaystyle N_{\uparrow}=0,1,2.}$${\displaystyle N_{\uparrow}=0}$${\displaystyle N_{\uparrow}=2}$${\displaystyle N_{\uparrow }=1,}$${\displaystyle N_{\uparrow}}$$${\displaystyle \Omega ={\frac {N!}{N_{\uparrow }!(N-N_{\uparrow })!}}={\frac {N!}{N_{\uparrow }!N_{\downarrow }!}},}$$${\displaystyle N_{\uparrow}+N_{\downarrow}=N.}$

エネルギーU はおよびと次のように関連付けられます。 ${\displaystyle N_{\uparrow }-N_{\downarrow }=-{\tfrac {U}{\mu B}},}$${\displaystyle N_{\uparrow}}$${\displaystyle N_{\downarrow}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\uparrow }&={\frac {N}{2}}-{\frac {U}{2\mu B}}\\[4pt]N_{\downarrow }&={\frac {N}{2}}+{\frac {U}{2\mu B}}.\end{aligned}}}$$

したがって、多重度を内部エネルギーの関数として表す最終的な式は次のようになる。 $${\displaystyle \Omega ={\frac {N!}{\left({\frac {N}{2}}-{\frac {U}{2\mu B}}\right)!\left({\frac {N}{2}}+{\frac {U}{2\mu B}}\right)!}}.}$$

これを使用して、ボルツマンのエントロピー式に従ってエントロピーを計算することができ、そこから温度や熱容量などの他の有用な特性を計算することができます。