比率の偽相関

統計学において、比率の偽相関とは、それ自体は相関のない絶対測定値の比率の間に生じる偽相関の一種である。 ^{[1] [2]}

比率の偽相関現象は、比率、パーセンテージ、百万分率などの相対情報のみを持つ変数の分析を扱う組成データ分析の分野の主な動機の1つです。 ^{[3] [4]}

偽の相関関係は、相関関係や因果関係に関する誤解とは異なります。

ピアソンは偽相関の簡単な例を挙げている: ^[1]

特定の範囲内で 3 つの数字 ( x、y、zなど) をランダムに選択します。これらはペアになり、ペアは相関しません。各 3 つ組に対して適切な分数x / zとy / zを形成すると、これらのインデックス間に相関関係が見つかります。

上記の散布図は、x、y、zの 500 個の観測値を使用してこの例を示しています。変数x、y、z は、それぞれ平均 10、10、30、標準偏差 1、1、3 の正規分布から抽出されます。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}x,y&\sim N(10,1)\\z&\sim N(30,3)\\\end{aligned}}}$

x、y、z は統計的に独立しており相関がありませんが、図示されている典型的なサンプルでは、​​比率x / zとy / zの相関は 0.53 です。これは公約数 ( z ) によるもので、散布図の点をz値で色分けすると理解しやすくなります。z値が比較的大きい3 つの ( x 、 y 、  z ) はプロットの左下に現れる傾向があり、z 値が比較的小さい 3 つの( x 、  y 、 z ) は右上に現れる傾向があります。

ピアソンは、2つの指標（および）の間に観察される相関関係の近似値、すなわち絶対測定値の比を導出した。 ${\displaystyle x_{1}/x_{3}}$${\displaystyle x_{2}/x_{4}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

${\displaystyle \rho ={\frac {r_{12}v_{1}v_{2}-r_{14}v_{1}v_{4}-r_{23}v_{2}v_{3}+r_ {34}v_{3}v_{4}}{{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{3}^{2}-2r_{13}v_{1}v_{3}}}{\sqrt {v_{2}^{2}+v_{4} ^{2}-2r_{24}v_{2}v_{4}}}}}$

ここで、は の変動係数、 はと の間のピアソン相関です。 ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$

この式は、 、 、 が無相関であると設定することで、公約数が存在する状況に対して簡略化でき、偽相関が得られます。 ${\displaystyle x_{3}=x_{4}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$

${\displaystyle \rho _{0}={\frac {v_{3}^{2}}{{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{3}^{2}}}{\sqrt {v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}}.}$

すべての変動係数が等しい特殊なケース（右の図の場合）では、${\displaystyle \rho _{0}=0.5}$

ピアソンは、フランシス・ゴルトン卿^[5]とウォルター・フランク・ラファエル・ウェルドン^[1]とともに、特に生物学では測定値を特定の変数または合計で割ってスケーリングまたは正規化することが一般的である^[6]ため、偽の相関関係に科学者が注意するよう警告しました。彼が見た危険は、実際の「有機的な」関係ではなく、分析方法のアーティファクトである相関関係から結論が導き出されることでした。

しかし、偽の相関関係（およびその潜在的な誤解）はまだ広く理解されていないようです。1986年に、構成データ分析に対する対数比アプローチの先駆者であるジョン・アッチソンは次のように書いています。 ^[3]

ピアソン、ゴルトン、ウェルドンといった著名な統計学者の 3 人の警告がこれほど長い間ほとんど無視されてきたのは驚くべきことのように思われます。今日でも、不適切な統計手法を組成データに無批判に適用し、その結果として疑わしい推論が導かれるケースが頻繁に報告されています。

最近の出版物は、少なくとも分子生物学の分野では、この認識の欠如が蔓延していることを示唆している。^{[7] [8]}