サウスウェルの区画

サウスウェルプロットは、構造物に臨界荷重に近い荷重をかける必要なく、構造物の臨界荷重を実験的に決定する図解法です。 ^{[ 1 ]}この手法は、座屈によって破損する可能性のあるあらゆる構造要素の非破壊検査に使用できます。^{[ 2 ]}

圧縮荷重Pを受ける単純支持梁を考える。平衡の微分方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {d^{4}v}{dx^{4}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(vv^{o})=0}$、${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {P}{EI}}}$

ここで、v ^oは初期たわみであり、境界条件は

${\displaystyle v(0)=v^{''}(0)=v(L)=v^{''}(L)=0}$

変形形状がフーリエ級数で表せると仮定する

${\displaystyle v^{o}(x)=\sum _{1}^{\infty }v_{n}^{o}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$、${\displaystyle v(x)=\sum _{1}^{\infty }v_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

そして微分方程式に代入すると、

${\displaystyle v(x)=\sum _{1}^{\infty }{\frac {v_{n}^{o}}{P_{n}/P-1}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$、${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{L^{2}}}}$

これは、変形した形状を初期の不完全性と加えられた荷重に関連付けます。具体的には、x = L /2 のとき、

${\displaystyle v(L/2)=V_{1}-V_{3}+V_{5}+...}$、${\displaystyle V_{n}={\frac {v_{n}^{o}}{P_{n}/P-1}}}$

PがP1_に近づくと、v ( L /2)はV1によって支配される_。したがって、Pが${\displaystyle \approx }$P ₁の場合、基本モードが支配的になり、結果として

${\displaystyle v=V_{1}={\frac {v_{1}^{o}}{P_{1}/P-1}}または{\frac {v}{P}}={\frac {v}{P_{c}}}+{\frac {v_{i}^{o}}{P_{c}}}}$

サウスウェルはv / Pをvに対してプロットし、予測された直線グラフの傾きからP ₁ = P _critical = P _{cを得る。} ^{[ 3 ]}

この解析は単純支持梁 の特定点に対して行われたものですが、この概念は任意の構造物に拡張できます。上記と同じ4階常微分方程式で、同様の境界条件を持つ数学的類似問題であれば、関連する同次問題の1番目の固有値はグラフの傾きから得られます。したがって、大きなたわみが生じる点を選択でき、それは単純支持梁の中心である必要はありません。^{[ 3 ]}

厳密に言えば、サウスウェルのプロットは、座屈後の経路が中立である構造物にのみ適用可能です。もともとは柱の座屈における安定性問題のために開発されたサウスウェル法は、フレームやプレートの座屈実験における臨界荷重の決定にも使用されています。

この方法は、鉄筋コンクリート柱や先進複合材料など、臨界荷重付近またはそれ以上の荷重をかけると損傷する可能性のある構造物の現場試験に特に有用です。^{[ 2 ]}また、この方法は実験における寄生効果を最小限に抑え、理論的に期待される値に近い値を得ることができます。たとえば、実際の実験設定では、理論的な境界条件を完全に再現することは不可能です。さらに、圧縮試験の結果は、不完全性や実際の境界条件に非常に敏感になる可能性があります。したがって、実験中に測定された臨界荷重は、予測値と大きく異なる可能性があります。^{[ 3 ]}