ソモス配列

数学において、ソモス数列は、以下に説明する特定の再帰関係によって定義される数列です。これらは数学者マイケル・ソモスによって発見されました。定義する再帰関係（除算を含む）の形式から、数列の項は分数であると予想されますが、それでも多くのソモス数列は、そのメンバーがすべて整数であるという特性を持っています。

1より大きい整数kに対して、ソモスk列は次式で定義される。 ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$

${\displaystyle a_{n}a_{nk}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +a_{n-(k-1)/2}a_{n-(k+1)/2}}$

kが奇数のとき、または類似の式で

${\displaystyle a_{n}a_{nk}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +(a_{nk/2})^{2}}$

kが偶数のとき、初期値とともに

i  <  kの場合_{、 i} = 1 。

k = 2 または 3の場合、これらの再帰は非常に単純であり (右辺に加算はありません)、すべて 1 のシーケンス (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) を定義します。最初の非自明なケースであるk  = 4 では、定義式は次のようになります。

${\displaystyle a_{n}a_{n-4}=a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}}$

一方、 k = 5の場合、 式は

${\displaystyle a_{n}a_{n-5}=a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}\,.}$

これらの方程式は、再帰関係の形に再構成することができ、再帰式の左側のa _nの値は、右側の式をa _{n  −  k}で割ることによって定義されます。k  = 4の場合、再帰式は次のようになります。

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}}{a_{n-4}}}}$

一方、 k = 5の場合は、 再帰式が与えられる。

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}}}.}$

Somos シーケンスの通常の定義では、 i  <  kのa _iの値はすべて 1 に設定されますが、異なる初期値を持つ同じ再帰を使用して他のシーケンスを定義することもできます。

Somos-4配列の値は

1、1、1、1、2、3、7、23、59、314、1529、8209、83313、620297、7869898、...（OEISの配列A006720）。

Somos-5配列の値は

1、1、1、1、1、2、3、5、11、37、83、274、1217、6161、22833、165713、...（OEISの配列A006721）。

Somos-6シーケンスの値は

1、1、1、1、1、1、3、5、9、23、75、421、1103、5047、41783、281527、...（OEISの配列A006722）。

Somos-7配列の値は

1、1、1、1、1、1、1、3、5、9、17、41、137、769、1925、7203、34081、...（OEISの配列A006723）。

Somos-8配列の最初の17個の値は

1、1、1、1、1、1、1、1、4、7、13、25、61、187、775、5827、14815 [次の値は小数です]。^[1]

ソモス数列を記述する再帰の形式には除算が含まれているため、これらの再帰によって定義される数列には小数値が含まれる可能性が高いと思われます。しかし、k  ≤ 7 の場合、ソモス数列には整数値のみが含まれます。^{[2] [3] [4]数人の数学者が、ソモス数列のこの整数特性を証明し説明する問題を研究してきました。これは}クラスター代数の組合せ論と密接に関連しています。^{[5] [3] [6] [7]}

k ≥ 8の場合、 同様に定義されたシーケンスには最終的に小数値が含まれます。Somos-8 の場合、最初の小数値は 18 番目の項で、値は 420514/7 です。

k < 7の場合 、初期値を変更すると (ただし、同じ再帰関係を使用)、通常は小数値も生成されます。

• ゲーベルのシーケンス

• Jim Propp の Somos シーケンス サイト
• ワイスタイン、エリック W.、「ソモス数列」、MathWorld
• トラブルメーカーナンバー。Somosシーケンスに関するNumberphileビデオ