状況計算

アクションは一種のドメインを形成します。アクション型の変数や、結果がアクション型となる関数を使用できます。アクションは定量化できます。ロボットの世界の例では、可能なアクション用語は次のようになります。${\displaystyle move(x,y)}$ロボットが新しい場所に移動する様子をモデル化する${\displaystyle (x,y)}$、 そして${\displaystyle pickup(o)}$ロボットが物体oを拾い上げる様子をモデル化します。特別な述語Poss は、アクションが実行可能かどうかを示すために使用されます。

状況計算では、動的な世界は、その世界内で実行される様々な行動の結果として、一連の状況を経て進行していくものとしてモデル化されます。状況は、行動の発生履歴を表します。ここで説明するライター版の状況計算では、状況は状態を表すものではありません。これは、この用語の文字通りの意味や、マッカーシーとヘイズによる元の定義とは異なります。この点は、ライターによって次のように要約されています。

状況とは、有限の一連の行動のことである。それだけだ。それは状態でもなければ、スナップショットでもなく、歴史である。^{[ 3 ]}

何らかの行動が行われる前の状況は、通常次のように表されます。${\displaystyle S_{0}}$⁠そして、それを初期状態と呼びます。アクションの実行によって生じる新しい状態は、関数記号doを使用して表されます(他のいくつかの参考文献^{[ 4 ]}ではresultも使用しています)。この関数記号は、引数として状態とアクションを受け取り、結果として状態を受け取ります。後者は、与えられた状態で与えられたアクションを実行した結果生じる状態です。

状況は状態ではなく一連の行動であるという事実は、次の公理によって裏付けられる。${\displaystyle do(a,s)}$に等しい${\displaystyle do(a',s')}$かつその場合に限り${\displaystyle a=a'}$そして${\displaystyle s=s'}$状況を状態と捉えるならば、この条件は意味をなさない。なぜなら、異なる状態で実行された2つの異なる行動が、同じ状態をもたらす可能性があるからである。

ロボットの世界の例で、ロボットの最初のアクションが場所へ移動することである場合${\displaystyle (2,3)}$最初のアクションは${\displaystyle move(2,3)}$そして結果として生じる状況は${\displaystyle do(move(2,3),S_{0})}$次の行動がボールを拾うことであれば、結果として生じる状況は${\displaystyle do(pickup(Ball),do(move(2,3),S_{0}))}$状況用語${\displaystyle do(move(2,3),S_{0})}$そして${\displaystyle do(pickup(Ball),do(move(2,3),S_{0}))}$これは、実行された一連の動作を表すものであり、実行の結果として生じる状態を表すものではない。

真偽値が変化する可能性のある命題は、状況を最終引数として受け取る述語である関係流暢性によってモデル化されます。また、状況を最終引数として受け取り、状況に応じた値を返す関数である関数流暢性も可能です。流暢性は「世界の特性」と考えることができます。

この例では、流暢な${\displaystyle {\textit {isCarrying}}(o,s)}$ロボットが特定の状況で特定の物体を運んでいることを示すために使用できます。ロボットが最初に何も運んでいない場合、${\displaystyle {\textit {isCarrying}}(Ball,S_{0})}$偽である一方${\displaystyle {\textit {isCarrying}}(Ball,do(pickup(Ball),S_{0}))}$これは正しい。ロボットの位置は関数型流暢性を使用してモデル化できる。${\displaystyle location(s)}$場所を返す${\displaystyle (x,y)}$特定の状況におけるロボットの挙動。

特定の状況では実行できないアクションもあります。たとえば、実際に持ち運んでいない限り、物を置くことはできません。アクションの実行に関する制約は、次の形式のリテラルによってモデル化されます。${\displaystyle {\textit {Poss}}(a,s)}$ここで、aはアクション、sは状況、Possはアクションの実行可能性を示す特別な二項述語です。この例では、物体を落とすことができるのは、それを運んでいるときだけであるという条件は、次のようにモデル化されます。

${\displaystyle {\textit {Poss}}(drop(o),s)\leftrightarrow {\textit {isCarrying}}(o,s)}$

より複雑な例として、ロボットは一度に1つの物体しか運ぶことができず、また、一部の物体はロボットが持ち上げるには重すぎる（述語heavyで示される）というモデルを以下に示します。

${\displaystyle {\textit {Poss}}(pickup(o),s)\leftrightarrow (\forall z\ \neg {\textit {isCarrying}}(z,s))\wedge \neg heavy(o)}$

ある状況においてある行動が可能であるならば、その行動が流暢な要素に及ぼす影響を明示する必要がある。これは効果公理によって行われる。例えば、物体を拾い上げるとロボットがそれを運ぶことになるという事実は、次のようにモデル化できる。

${\displaystyle Poss(pickup(o),s)\rightarrow {\textit {isCarrying}}(o,do(pickup(o),s))}$

また、現在の状態に依存する効果である条件付き効果を指定することも可能です。以下のモデルは、一部のオブジェクトが壊れやすい（述語fragileで示される）こと、そしてそれらを落とすと壊れる（流暢なbrokenで示される）ことを示しています。

${\displaystyle Poss(drop(o),s)\wedge fragile(o)\rightarrow broken(o,do(drop(o),s))}$

この式は行動の効果を正しく記述しているが、フレーム問題のため、論理的に行動を正しく記述するには不十分である。

上記の式は行動の効果を推論するのに適しているように見えるが、重大な弱点がある。それは、行動の非効果を導き出すことができない点である。例えば、物体を拾い上げた後、ロボットの位置が変化しないことを推論することはできない。これには、いわゆるフレーム公理、すなわち次のような式が必要となる。

${\displaystyle Poss(pickup(o),s)\wedge location(s)=(x,y)\rightarrow location(do(pickup(o),s))=(x,y)}$

フレーム公理を指定する必要性は、動的世界を公理化する際の課題として長らく認識されており、「フレーム問題」として知られています。一般的に、このような公理は非常に多数存在するため、設計者が必要なフレーム公理を省略したり、世界記述に変更を加えた際に適切な公理をすべて修正し忘れたりすることが非常に容易です。

後継状態公理は、状況計算におけるフレーム問題を「解決」します。この解決策によれば、設計者は、特定の流暢の値を変更できるすべての方法を効果公理として列挙する必要があります。流暢の値に影響を与える効果公理は、${\displaystyle F({\overrightarrow {x}},s)}$これは、正の効果と負の効果の公理として一般化された形で記述できる。

${\displaystyle Poss(a,s)\wedge \gamma _{F}^{+}({\overrightarrow {x}},a,s)\rightarrow F({\overrightarrow {x}},do(a,s))}$

${\displaystyle Poss(a,s)\wedge \gamma _{F}^{-}({\overrightarrow {x}},a,s)\rightarrow \neg F({\overrightarrow {x}},do(a,s))}$

式${\displaystyle \gamma _{F}^{+}}$状況sにおける行動aが、後続の状況において流暢なFを真にする条件を記述する。${\displaystyle do(a,s)}$。 同じく、${\displaystyle \gamma _{F}^{-}}$これは、状況sにおいて行動aを実行すると、後続の状況において流暢性Fが偽となる条件を説明するものである。

この2つの公理が、流暢な関数Fが値を変えるすべての方法を記述しているとすれば、それらは1つの公理として書き直すことができる。

${\displaystyle Poss(a,s)\rightarrow \left[F({\overrightarrow {x}},do(a,s))\leftrightarrow \gamma _{F}^{+}({\overrightarrow {x}},a,s)\vee \left(F({\overrightarrow {x}},s)\wedge \neg \gamma _{F}^{-}({\overrightarrow {x}},a,s)\right)\right]}$

言葉で表すと、この公式は「状況sにおいて行動aを実行できる場合、結果として生じる状況において流暢なFは真となる」というものである。${\displaystyle do(a,s)}$sにおいてaを実行することでそれが真になる場合、またはsにおいてそれが真であり、 sにおいてaを実行してもそれが偽にならない場合に限る。

例えば、上で紹介した流暢な破綻の値は、次の後継状態公理によって与えられます。

${\displaystyle Poss(a,s)\rightarrow \left[broken(o,do(a,s))\leftrightarrow a=drop(o)\wedge fragile(o)\vee broken(o,s)\wedge a\neq repair(o)\right]}$

初期状態やその他の状況の特性は、単に数式として記述することで指定できます。たとえば、初期状態に関する事実は、次のような主張を行うことで形式化されます。${\displaystyle S_{0}}$（これは状態ではなく状況です）。以下の記述は、ロボットが最初は何も持っておらず、ある場所にいることを示しています。${\displaystyle (0,0)}$破損した物はありません。

${\displaystyle \forall z\,\neg {\textit {isCarrying}}(z,S_{0})}$

${\displaystyle location(S_{0})=(0,0)\,}$

${\displaystyle \forall o\,\neg broken(o,S_{0})}$

状況計算の基礎公理は、状況が履歴であるという考え方を形式化しています。${\displaystyle do(a,s)=do(a',s')\iff a=a'\land s=s'}$また、状況に関する二次帰納法などの他の特性も含まれる。