三角形の相似システム

三角形の相似システムとは、三角形の集合を含む特定の構成である。^[1]三角形の集合は、その集合に含まれるすべての三角形が、その集合内に存在する他の三角形のいずれかと少なくとも 1 つの接続関係を共有している場合に構成と見なされる。 ^[1]三角形間の接続関係とは、2 つの三角形が 1 つの点を共有している場合を指す。たとえば、右側の 2 つの三角形と は、点と が共有されているため、2 つの接続関係で構成される構成である。構成を構成する三角形は、構成三角形要素と呼ばれる。^[1]三角形は、相似システムに含まれるには構成集合の一部であるだけでなく、直接相似でなければならない。^[1]直接相似とは、2 つの三角形間の角度がすべて等しく、同じ回転方向を共有することを意味する。^[2]隣接する画像に見られるように、直接相似な三角形では、 と への回転は同じ方向に発生する。反対の相似な三角形では、 とへ の 回転 は反対方向 に発生する。まとめると、集合内のすべての三角形が同じ平面上にある場合の構成は相似システムであり、次のことが成り立ちます。集合内にn個の三角形があり、 n  − 1個の三角形が直接相似である場合、n個の三角形は直接相似です。^[1]${\displaystyle AHC}$${\displaystyle BHC}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B^{1}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B^{1}}$${\displaystyle C^{1}}$

JG モールドンは、数学雑誌の論文「相似三角形」で三角形の相似体系という考え方を紹介しました。^[1]モールドンは、与えられた三角形が複素数、具体的には方程式 を介して直接相似であるかどうかを調べることから分析を開始しました。^[1]次に、正三角形に分析を進め、のときに方程式 を満たす三角形は正三角形であることを示しました。^[1]この研究の証拠として、彼は直接相似と正三角形に関する予想をナポレオンの定理の証明に適用しました。^[1]次に、ナポレオンの定理を基に、各頂点に正三角形が接して正三角形を構成する場合、外側の 3 つの正三角形の接していない頂点を結ぶ線の中点が正三角形を形成することを証明しました。^[1]フランスの幾何学者テボーは、平行四辺形と平行四辺形の各辺にある正方形が与えられた場合、正方形の中心を合わせると正方形が形成されることを証明しました。^[3]次にモールドンは、三角形の共面集合を分析し、1つを除くすべての三角形が直接相似であれば、すべての三角形が直接相似であるという基準に基づいて、それらが相似システムであるかどうかを判断しました。^[1]${\displaystyle ABC,XYZ}$${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}}=0}$${\displaystyle ABC}$${\displaystyle a+wb+w^{2}c=0}$${\displaystyle w={\frac {-1+i\surd 3}{2}}}$

長方形の各辺に と相似な直接相似三角形を配置して長方形を構成すると、 は直接相似となり、三角形の集合は相似系となる。^[1]${\displaystyle ABCD}$${\displaystyle PAB,QBC,RCD,SDA}$${\displaystyle PQS}$${\displaystyle RQS}$${\displaystyle \{PAB,QBC,RCD,SDA,PQS,RQS\}}$

しかし、三角形が退化して、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、 点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点を取り、点取り^...${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q,R,D}$${\displaystyle S}$

3 組の線が平行だが長さが等しくない図形 (正式には直方体と呼ばれる) があり、2次座標のすべての点に次のようにラベルが付けられているとします。

${\displaystyle \{A_{1}B_{1}C_{1},A_{2}B_{2}C_{2},A_{3}B_{3}C_{3},A_{4}B_{4}C_{4},A_{1}B_{4}C_{3},A_{2}B_{3}C_{4},A_{3}B_{2}C_{1},A_{4}B_{1}C_{2}\}}$

次に、上記の点を三角形として分析し、それらが相似システムを形成することを示すことができます。^[1]

証拠：

任意の三角形が直接相似になるためには、次の式が満たされる必要があります。 ${\displaystyle KLM}$${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}}$

${\displaystyle (\ell -m)a_{1}+(mk)b_{1}+(k-1)c_{1}=0.}$[ 1 ^] ここでℓ、m、k、a1、b1 _、c1は三角形の辺である_。

残りの三角形についても同じパターンに従うと、最初の 4 つの三角形の方程式の合計と最後の 4 つの三角形の方程式の合計が同じ結果になることに気付くでしょう。^[1]したがって、三角形の相似システムの定義により、選択された 7 つの相似三角形に関係なく、8 番目はシステムを満たし、それらはすべて直接相似になります。^[1]

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  直接的な類似性の例
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  三角形AHCとBHCの間には2つの接続関係がある。
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  反対の類似の例
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  テボーの定理
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  ナポレオンの定理
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  類似性システムの例
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  非類似性システムの例
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  直方体