散乱率

電子ビームが物質を通過するときの散乱率を表す式を数学的に導くことができます。

相互作用図

摂動のないハミルトニアンをで定義し、時間依存の摂動のあるハミルトニアンをで定義し、全ハミルトニアンをで定義します。 $H_{0}$ $H_{1}$ $H$

摂動を受けないハミルトニアンの固有状態は次のように仮定される。

H=H_{0}+H_{1}\

H_{0}|k\rangle =E(k)|k\rangle

相互作用図では、状態ケットは次のように定義される。

|k(t)\rangle _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }|k(t)\rangle _{S}=\sum _{k'}c_{k'}(t)|k'\rangle

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|k(t)\rangle _{I}=H_{1I}|k(t)\rangle _{I}

これはシュレーディンガー方程式のような方程式で、その合計がに置き換えられたものです。 $H$ $H_{1I}$

微分方程式を解くと、n 状態の係数を見つけることができます。

c_{k'}(t)=\delta _{k,k'}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dt'\;\langle k'|H_{1}(t')|k\rangle \,e^{-i(E_{k}-E_{k'})t'/\hbar }

ここで、0次の項と1次の項は

c_{k'}^{(0)}=\delta _{k,k'}

c_{k'}^{(1)}=-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dt'\;\langle k'|H_{1}(t')|k\rangle \,e^{-i(E_{k}-E_{k'})t'/\hbar }

発見の確率は、を評価することによって求められます。 $|k'\rangle$ $|c_{k'}(t)|^{2}$

一定の摂動の場合、次のように計算されます。 $c_{k'}^{(1)}$

c_{k'}^{(1)}={\frac {\langle \ k'|H_{1}|k\rangle }{E_{k'}-E_{k}}}(1- e^{i(E_{k'}-E_{k})t/\hbar })

|c_{k'}(t)|^{2}=|\langle \ k'|H_{1}|k\rangle |^{2}{\frac {sin^{2}({\ frac {E_{k'}-E_{k}}{2\hbar }}t)}{({\frac {E_{k'}-E_{k}}{2\hbar }})^{2}}}{\frac {1}{\hbar ^{2}}}

次の式を用いると

\lim _{\alpha \rightarrow \infty }{\frac {1}{\pi }}{\frac {sin^{2}(\alpha x)}{\alpha x^{2}}}=\delta (x)

電子の初期状態から最終状態への遷移速度は次のように表される。 $k$ $k'$

P(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \ k'|H_{1}|k\rangle |^{2}\delta (E_{k '}-E_{k})

ここで、およびは摂動状態を含む初期状態と最終状態のエネルギーであり、関数がエネルギー保存則を示すことを保証します。 $E_{k}$ $E_{k'}$ $\delta$

散乱率w(k)は、初期状態kから最終状態k'までの電子散乱の可能な有限状態k'をすべて合計することによって決定され、次のように定義されます。

w(k)=\sum _{k'}P(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\sum _{k'}|\langle \ k'| H_{1}|k\rangle |^{2}\delta (E_{k'}-E_{k})

積分形式は

w(k)={\frac {2\pi }{\hbar }}{\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3} k'|\langle \ k'|H_{1}|k\rangle |^{2}\delta (E_{k'}-E_{k})