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線型代数学とマトロイド理論において、ロータの基底予想は、基底の並べ替えに関する未証明の予想であり、ジャン＝カルロ・ロータにちなんで名付けられました。ロータの基底予想は、X がn次元のベクトル空間、またはより一般的にはn 個の互いに素な基底B iを持つ階数nのマトロイドである場合、これらの基底の要素を、行列の行がまさに与えられた基底であり、行列の列も基底であるような方法でn × n行列に配置することが可能であると述べています。つまり、各基底B iの 1 つの要素で構成される、n個の互いに素な基底C iの 2 番目のセットを見つけることが可能であるはずです。
例
ロタの基底予想は、ユークリッド平面上の点について単純な定式化をしている。すなわち、3 つの三角形が別個の頂点を持ち、各三角形が 3 色のうちの 1 色で着色されている場合、9 つの三角形の頂点を、各色の頂点が 1 つずつある 3 つの「虹」の三角形に再グループ化できるはずである、というものである。三角形はすべて非退化であることが要求される。つまり、3 つの頂点すべてが 1 直線上にないことである。
これを基底予想の例として見るには、3 次元の実ベクトル空間でのベクトル ( ) の線型独立性(ここで ( ) は三角形の頂点の直交座標) を使用するか、または同等に、| S | ≤ 2 であるかS が非退化三角形の 3 つの頂点を形成する場合に点の集合Sが独立であるような階数 3 のマトロイドを使用することができます。この線型代数とこのマトロイドの場合、基底はまさに非退化三角形です。3 つの入力三角形と 3 つのレインボー三角形が与えられている場合、9 つの頂点を 3 × 3 行列に配置して、各行に単色三角形の頂点が含まれ、各列にレインボー三角形の頂点が含まれるようにすることができます。
同様に、3 次元ユークリッド空間の点については、4 つの異なる色の 4 つの非退化四面体の 16 個の頂点が 4 つの虹四面体に再グループ化される可能性があると予想されます。
部分的な結果
Rota の基底予想の記述は、1989 年に Huang & Rota (1994) によって最初に発表され、Rota の功績として (引用なしで) 1989 年に発表されました。 [1]基底予想は、舗装マトロイド(すべての nに対して) [2]およびn ≤ 3の場合 (すべてのタイプのマトロイドに対して) に対して証明されています。[3]任意のマトロイドに対して、基底要素を最初の Ω( √n ) 列が基底である行列に配置することができます。[4]特性0の体上の線型代数とnの偶数値に対する基底予想は、Alon と Tarsi によるラテン方陣に関する別の予想から導かれます。 [1] [5]この含意に基づいて、この予想は、無限に多くの nの値に対する実数上の線型代数に対して真であることがわかっています。[6]
関連する問題
トヴェルグの定理に関連して、バラニとラーマン (1992) は、d次元ユークリッド空間 内のr ( d + 1) 個の点の集合がd + 1 色で色付けされ、各色にr個の点 がある場合、それらの点を虹単体 (各色に 1 個の点があるd + 1 個の点の集合) に分割して、それらの集合の凸包が空でない交差を持つようにする方法があると予想した。[7]たとえば、 r = 3の 2 次元の場合 (バラニとラーマンによって証明) は 、平面上の 9 個の点が 3 色で色付けされ、各色に 3 個の点がある場合、それらの点を 3 つの交差する虹の三角形に分割できることを示しており、これは、点を 3 つの非退化の虹の三角形に分割できるというロータの基底予想に類似した主張である。バラニーとラーマンの予想では、直線上の3点を虹の三角形としてみなすことができますが、ロタの基底予想ではこれが認められません。一方、ロタの基底予想では、三角形が共通の交点を持つことは要求されません。バラニーとラーマンの予想は、Blagojević、Matschke、Ziegler (2009) によって大幅に進歩しました。[8]
参照
- ロタの予想、線形代数とマトロイドに関するロタの別の予想
参考文献
- ^ ab Huang, Rosa; Rota, Gian-Carlo (1994)、「ラテン方陣と直線化係数に関するさまざまな予想の関係について」、離散数学、128 (1–3): 225–236、doi :10.1016/0012-365X(94)90114-7、MR 1271866特に、予想4（226ページ）を参照。
- ^ Geelen, Jim ; Humphries, Peter J. (2006)、「Rota の舗装マトロイドの基底予想」(PDF)、SIAM Journal on Discrete Mathematics、20 (4): 1042–1045、CiteSeerX 10.1.1.63.6806、doi :10.1137/060655596、MR 2272246 。
- ^ チャン、ウェンディ（1995）、「マトロイドの交換特性」、離散数学、146（1–3）：299–302、doi：10.1016/0012-365X（94）00071-3、MR 1360125。
- ^ Geelen, Jim ; Webb, Kerri (2007)、「Rota の基底予想について」(PDF)、SIAM Journal on Discrete Mathematics、21 (3): 802–804、doi :10.1137/060666494、MR 2354007、S2CID 7410113。
- ^ オン、シュムエル (1997)、「カラフルな行列式の恒等式、ロータの予想、ラテン方陣」、アメリカ数学月刊誌、104 (2): 156–159、doi :10.2307/2974985、JSTOR 2974985、MR 1437419。
- ^ グリン、デイビッド・G. (2010)、「アロン・タルシとロタの予想の次元素数マイナス1」、SIAM Journal on Discrete Mathematics、24 (2): 394–399、doi :10.1137/090773751、MR 2646093。
- ^ Bárány, I. ; Larman, DG (1992)、「Tverberg の定理のカラー版」、Journal of the London Mathematical Society、第 2 シリーズ、45 (2): 314–320、CiteSeerX 10.1.1.108.9781、doi :10.1112/jlms/s2-45.2.314、MR 1171558 。
- ^ Blagojević, Pavle VM; Matschke, Benjamin; Ziegler, Günter M. (2009)、「色付きトヴェルグ問題の最適境界」、Journal of the European Mathematical Society、17 (4): 739–754、arXiv : 0910.4987、Bibcode :2009arXiv0910.4987B、doi :10.4171/JEMS/516。
外部リンク
- ロタの基底予想、オープン問題ガーデン。