堅牢なパラメータ設計

田口玄一によって導入されたロバストパラメータ設計は、制御変数と制御不能なノイズ変数の相互作用をロバスト化によって利用するための実験計画法です。ロバスト化とは、制御不能な要因による応答の変動を最小限に抑える制御因子の設定を見つけることです。^{[ 1 ]}制御変数は、実験者が完全に制御できる変数です。ノイズ変数は、スペクトルの反対側に位置します。これらの変数は、実験環境では容易に制御できますが、実験の世界の外では、制御することは不可能ではないにしても非常に困難です。ロバストパラメータ設計では、FFDと同様の命名規則を使用します。2 ( ^{m1+m2)-(p1-p2)}は 2 水準設計であり、 m1は制御因子の数、m2はノイズ因子の数、p1は制御因子の分割水準、p2はノイズ因子の分割水準です。

モンゴメリー (2005) の RPD ケーキ焼きの例を考えてみましょう。実験者はケーキの品質を向上させたいと考えています。^{[ 2 ]}ケーキ製造業者は、小麦粉の量、砂糖の量、ベーキングパウダーの量、ケーキの着色料の含有量を制御できますが、オーブンの温度や焼き時間などの他の要因は制御できません。製造業者は焼き時間を 20 分と印刷することはできますが、現実の世界では消費者の焼き方の習慣を制御することはできません。ケーキの品質のばらつきは、350° ではなく 325° で焼いたり、ケーキをオーブンに入れる時間がわずかに短すぎたり長すぎたりすることによって発生する可能性があります。ロバスト パラメータ設計は、ノイズ要因が品質に及ぼす影響を最小限に抑えることを目指します。この例では、製造業者は焼き時間の変動がケーキの品質に及ぼす影響を最小限に抑えたいと考えており、そのためには制御要因の最適な設定が必要です。

RPDは主にシミュレーション環境で使用され、そこでは制御不能なノイズ変数を一般的に容易に制御できます。現実世界ではノイズ要因を制御することは困難ですが、実験環境ではこれらの要因を容易に制御できます。ケーキ作りの例では、実験者は焼き時間とオーブン温度を変動させることで、制御が自分の手に委ねられなくなった場合に発生する可能性のある変動の影響を理解することができます。

ロバストパラメータ設計は、アダマール行列を使用して最適な設計を見つけることができ、効果階層と因子スパース性の原理が維持され、完全な RPD を分割するとエイリアシングが存在するという点で、部分因子設計 ( FFD ) と非常によく似ています。FFD と同様に、RPD はスクリーニング設計であり、対象システムの線形モデルを提供できます。FFD における効果階層とは、高次の相互作用が応答にほとんど影響を与えない傾向があることを意味します。^{[ 3 ]} Carraway で述べられているように、主効果が応答に影響を与える可能性が最も高く、次に 2 因子相互作用、次に 3 因子相互作用、といった具合です。^{[ 4 ]}効果スパース性の概念は、すべての因子が応答に影響を与えるわけではないということです。これらの原理は、アダマール行列を分割するための基礎となります。分割することで、実験者はより少ない実行回数とより少ないリソースで結論を導き出すことができます。多くの場合、RPD は実験の初期段階で使用されます。 2レベルRPDは因子効果間の線形性を前提としているため、因子の数を減らした後は、曲率をモデル化するために他の方法を用いる必要がある。

アダマール行列は、 + と − のみで構成される正方行列です。アダマール行列を正規化して分割すると、設計パターンが得られます。ただし、すべての設計が同じというわけではなく、一部の設計は他の設計よりも優れているため、特定の設計基準を使用してどの設計が最適かを決定します。設計パターンを取得した後、実験者は一般的に、各因子をどの設定に設定すべきかを知っています。パターンの各行は実行を示し、各列は因子を示します。左に示す部分的な設計パターンでは、実験者は応答に影響を与える可能性のある 7 つの因子を特定し、8 回の実行でどの因子が影響を与えるかについての洞察を得たいと考えています。最初の実行では、因子 1、4、5、および 6 を高レベルに設定し、因子 2、3、および 7 を低レベルに設定します。低レベルと高レベルは、通常、主題の専門家によって定義される設定です。これらの値は極値ですが、応答が非平滑領域に押し込まれるほど極端ではありません。各実行の後、結果が得られます。また、 OFAT法を用いる代わりに、単一の実験で複数の因子を変動させることで、個々の因子の効果だけでなく、変数間の相互作用も推定できる。2つの因子が相互作用する場合、一方の因子が応答に及ぼす影響は、もう一方の因子の設定によって異なる。

アダマール行列を適切に分割するには、非常に時間がかかります。6 つの因子に対応する 24 回の実験計画を考えてみましょう。各アダマール行列からのアダマール計画の数は 23 から 6 までです。つまり、各 24×24 アダマール行列から 100,947 個の計画があります。このサイズのアダマール行列は 60 個あるため、比較する計画の総数は 6,056,820 個になります。Leoppky、Bingham、および Sitter (2006) は完全探索法を使用し、12、16、および 20 回の実験に対する最良の RPD をリストアップしました。完全探索作業は非常に網羅的であるため、より大きな実験サイズに対する最良の計画は、すぐには入手できないことがよくあります。その場合、許容できる量のエイリアシングのみを許容する形でアダマール行列を分割するために、他の統計的手法が使用されることがあります。 FFD に対しては前方選択や後方消去などの効率的なアルゴリズムが開発されているが、制御変数とノイズ変数を区別することによって生じるエイリアシングの複雑さのため、これらの方法は RPD に対してはまだ有効であることが証明されていない。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

設計基準を完全に理解するには、履歴と一部実施要因計画法の理解が必要です。一部実施要因計画法は、どの要因が応答に影響を与えるかを理解し、適切な要因設定を見つけることで応答を最適化することを目的としています。一部実施要因計画法は、相対実施要因計画法とは異なり、制御変数とノイズ変数を区別しません。

一般化解像度と一般化最小収差

フォンタナ、ピストーネ、ロガンティン^{[ 9 ]}は2水準の分割要因計画の指標関数を作成し、2003年にイェは規則的および非規則的計画の指標関数を拡張しました^{[ 10 ]} 。このとき、イェは一般化分解能と一般化最小異常を確立しました。規則的計画は実行サイズが2のべき乗に等しい計画であるのに対し、非規則的計画は4の任意の倍数です。非規則的計画では、効果は完全にエイリアシングされるか、部分的にエイリアシングされるか、まったくエイリアシングされない可能性があります。一般化最小異常と一般化分解能はこの部分的なエイリアシングを考慮に入れています。

形式的には、Ye (2003) は正則デザインと非正則デザインを区別し、任意の多項式関数は次のように書けると述べている。

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\sum _{J\in P}b_{J}X_{J}(x)\\&=\sum _{J\in PC}\sum _{K\in PN}b_{J\cup K}X_{J\cup K}(x)\end{aligned}}}$どこ：

${\displaystyle b_{L}={\frac {1}{2^{m}}}\sum _{x\in F}X_{L}(x);\quad b_{0}={\frac {n}{2^{m}}}}$

もし$\displaystyle \left|{\frac {b_{J\cup K}}{b_{0}}}\right|=1}$そうすればデザインは規則的である。そうでなければ部分的なエイリアシングが存在する。

Ye がこの指標関数を開発している間、Bingham と Sitter はロバスト パラメータ設計の解像度と異常の明確化に取り組んでいました。2006 年に、Leoppky、Bingham、および Sitter は、ロバスト パラメータ設計の拡張ワード長パターンと指標関数を発表しました。RPD はノイズ要因によるプロセス変動の最小化に関心があるため、効果の優先順位は FFD の効果の階層から変わります。主効果は依然として第一優先であり、2 因子相互作用は依然として第二優先ですが、いずれかの相互作用にノイズ制御 (CN) 相互作用がある場合、その相互作用は優先順位スケールで 0.5 増加します。たとえば、CCN 3 因子相互作用は、3 因子相互作用が 3 番目の優先順位、2 因子相互作用が 2 番目の優先順位、主効果が第一優先順位であるため、FFD では優先順位 3 になります。ただし、RPD はノイズ変数に関心があるため、CCN 相互作用は優先順位 2.5 の効果です。CN 相互作用により、優先順位が 0.5 上がります。したがって、従来の優先度3からCN相互作用の0.5を引いた結果、優先度は2.5になります。優先度の完全な表は、Leoppky、Bingham、およびSitter（2006）に記載されています。^{[ 11 ]}

導入された原理をさらに詳しく調査することで、設計比較に関するより深い理解が得られるだろう。

通常の分数要因計画では、単語の長さによってエイリアシングの種類が決まります。たとえば、「2367」という単語は、次のようなエイリアシング構造に分解できます。

単語2367の長さは4であり、最悪のエイリアシングは、主効果が3因子交互作用とエイリアシングされ、2因子交互作用が他の2因子交互作用とエイリアシングされることです。

RPD（相対的確率分布）について議論する場合、効果の優先順位が変わるため、単語の長さは単純なものではなくなります。因子2、3、5が制御変数、因子7、8がノイズ変数である単語23578を考えてみましょう。この単語から、次のエイリアシング文字列を導き出すことができます。

2=3578、3=2578、5=2378またはC=CCNN 、7=2358、8=2357またはN=CCCN、 23=578、25=378、35=278またはCC=CNN、 27=358および28=357またはCN=CCN、 235=78またはCCC=NN

エイリアシングの種類がわかったら、レオプキー、ビンガム、シッターの効果の優先順位を使用して、存在するエイリアシングの最悪の量を決定する必要があります。これは、CN の相互作用ごとに優先順位が 0.5 上昇し、エイリアシング文字列の両側を合計することで単語の長さが得られることを意味します。下の表は、単語 23578 で見つかった各エイリアシングタイプの合計を示しています。

合計値が低いほどエイリアシングが悪化することを示すため、この単語は長さ4の最悪ケースエイリアシングを持ちます。FFDでは制御とノイズの区別は考慮されないため、この単語の長さは5になりますが、RPDはこの区別に関心があり、単語の長さが5に見えても、設計基準により優先度は4になります。ここで、設計D1には先ほど分析した単語(23578)のみが含まれていると仮定します。D1をD2と比較し、D2で見つかった最悪ケースエイリアシングの優先度が3.5であれば、D1の方が優れた設計になります。しかし、D2の最悪ケースエイリアシングの優先度が4であれば、最小アベレーションを考慮する必要があります。各設計について、最悪ケースエイリアシングの各タイプの頻度を計算します。最悪ケースエイリアシングの発生を最小限に抑える設計が、より優れた設計として選択されます。これらの頻度は、拡張単語長パターン(EWLP)を使用して整理できます。

実験計画法 (DOE) は、実験、モデリング、シミュレーションの基本となる部分です。Banks ^{[ 12 ]}は、「実験計画法は、各シミュレーションの繰り返しから収集する必要のある情報、必要な繰り返し回数、比較する必要のあるモデルパラメータの変更を特定することにより、シミュレーションに関連する時間と労力を削減することに関係しています」と述べています。概念モデルがプログラムされたモデルとして実装された後、最も迅速かつ費用対効果の高い方法で実験を実行し、シミュレーション結果を取得するには、DOE が必要です。次の例は、RPD を使用して重要な結論を導き出すことができる状況を示しています。

RPDはFFDと非常に密接に関連しているため、同じ分析方法を適用できます。ANOVAを使用して、どの因子が有意であるかを判断できます。中心点分析を実行して、曲線が存在するかどうかを判断できます。多くの統計ソフトウェアパッケージには、分割プロット設計が保存されており、分析にすぐに使用できます。RPDはスクリーニング設計であり、応答に影響を与えると考えられる因子の数を減らすためによく使用されます。

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