ポテンシャルからの散乱における共鳴

量子力学では、共鳴断面積は量子散乱理論の文脈で発生し、量子粒子のポテンシャルからの散乱を研究します。散乱問題は、散乱粒子/波のフラックス分布をポテンシャルと入射粒子の状態（運動量/エネルギーの保存によって特徴付けられる）の関数として計算することを扱います。ポテンシャルに入射する自由量子粒子の場合、時間に依存しないシュレーディンガー波動方程式の平面波解は次のようになります。

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})=e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}}$

1 次元の問題では、透過係数が重要です。透過係数は次のように定義されます。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {|{\vec {J}}_{\mathrm {trans} }|}{|{\vec {J}}_{\mathrm {inc} }|}}}$

ここで、 は確率電流密度です。これは、ポテンシャルを通過する入射ビームの粒子の割合を示します。3 次元の問題では、散乱断面積を計算します。これは、大まかに言えば、散乱される入射ビームの総面積です。関連するもう 1 つの量は部分断面積です。これは、特定の角運動量固有状態の部分波の散乱断面積を表します。これらの量は当然、入射波の波動ベクトル に依存します。これは、そのエネルギーと次の式で関連しています。 ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma _{\text{l}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}|{\vec {k}}|^{2}}{2m}}}$

これらの関心量の値、透過係数 （1次元ポテンシャルの場合）、および部分断面積は、入射エネルギーに応じて変化し、ピークを示します。これらの現象は共鳴と呼ばれます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \sigma _{\text{l}}}$${\displaystyle E}$

1次元の有限平方ポテンシャルは次のように与えられる。

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$

の符号によって、二乗ポテンシャルが井戸か障壁かが決まります。共鳴現象を研究するために、エネルギーを持つ質量のある粒子の定常状態に対する時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解きます。 ${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle E>V_{0}}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi }$

3つの領域の波動関数の解は ${\displaystyle x<0,0<x<L,x>L}$

${\displaystyle \psi _{1}(x)={\begin{cases}A_{1}e^{ik_{1}x}+B_{1}e^{-ik_{1}x},&x<0,\\A_{2}e^{ik_{2}x}+B_{2}e^{-ik_{2}x},&0<x<L,\\A_{3}e^{ik_{1}x}+B_{3}e^{-ik_{1}x},&x>L,\end{cases}}}$

ここで、およびはそれぞれポテンシャルのない領域とポテンシャル内の波数です。 ${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$

${\displaystyle k_{1}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}$

${\displaystyle k_{2}={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }},}$

を計算するために、波動関数の係数は として設定されます。これは、ポテンシャルに右から波が入射しないという事実に対応します。波動関数とその導関数が井戸/障壁境界およびで連続であるという条件を課すと、係数間の関係が見つかり、次のように見つけることができます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle B_{3}=0}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle {\frac {d\psi }{dx}}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {|A_{3}|^{2}}{|A_{1}|^{2}}}={\frac {4E(E-V_{0})}{4E(E-V_{0})+V_{0}^{2}\sin ^{2}\left[{\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\frac {L}{\hbar }}\right]}}}$

したがって、透過係数は次の場合に最大値 1 に達します。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sin ^{2}\left[{\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\frac {L}{\hbar }}\right]=0{\text{, or }}{\sqrt {2m(E-V_{0})}}={\frac {n\pi \hbar }{L}}}$

任意の整数値 に対して となります。これが共鳴条件であり、 が最大になり、共鳴と呼ばれる状態になります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$

上記の式から、共鳴は、粒子が井戸を横切って戻ってくる距離 ( ) がポテンシャル内の粒​​子のド・ブロイ波長 ( )の整数倍であるときに発生します。 の場合、ポテンシャルの不連続点での反射は位相変化を伴いません。^[1]したがって、共鳴はポテンシャル障壁/井戸内での定在波の形成に対応します。共鳴では、 のポテンシャルに入射する波とポテンシャルの壁の間で反射する波は同位相であり、互いに強め合います。共鳴からはほど遠い状態では、定在波は形成されません。すると、ポテンシャルの両方の壁 ( と)の間で反射する波と透過する波は位相がずれ、干渉によって互いに打ち消し合います。この物理は、共鳴条件と透過係数の関数形が同じである、光学における ファブリ・ペロー干渉計の透過の物理に似ています。${\displaystyle 2L}$${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$${\displaystyle E>V_{0}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$${\displaystyle x=0}$

透過係数は、周期 で正方形井戸の長さ ( ) の関数として、最大値 1 と最小値 の間を変動します。透過係数の最小値は、高エネルギー の極限では に近くなり、より浅い共鳴が生じます。また、低エネルギー の極限では逆に に近くなり、より鋭い共鳴が生じます。これは、次のように定義される形状係数の固定値に対する入射粒子エネルギーに対する透過係数のグラフで示されます。${\displaystyle \left[1+{\frac {V_{0}^{2}}{4E(E-V_{0})}}\right]^{-1}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\frac {\pi }{k_{2}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E>>V_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle E<<V_{0}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {2mV_{0}L^{2}}{\hbar ^{2}}}}}$

• 共鳴（素粒子物理学）
• フェシュバッハ・ファノ分割

• メルツバッハ・ユージン。量子力学。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。
• クロード・コーエン＝タヌージ。量子力学。Wiley-VCH。