関係性スクエア

統計学において、相関四角形は、表「個体×変数」の因子分析に用いるための図式表現です。この表現は、主成分分析（PCA）や多重対応分析（MCA）によって提供される古典的な表現、すなわち個体、量的変数（相関円）、質的変数のカテゴリ（それらを持つ個体の重心）の表現を補完するものです。特に、混合データの因子分析（FAMD）や多重因子分析（MFA）において重要です。

関係図の第一の目的は、変数のカテゴリではなく、変数そのものを表現することです。変数の数が多いほど、このことはより重要になります。このため、各質的変数について計算を行います。${\displaystyle j}$そして各要因${\displaystyle F_{s}}$（${\displaystyle F_{s}}$ランク${\displaystyle s}$因子は、順位軸に沿った個体の座標のベクトルである。${\displaystyle s}$; PCAでは、${\displaystyle F_{s}}$ランクの主成分と呼ばれる${\displaystyle s}$)、相関比の二乗${\displaystyle F_{s}}$そして変数${\displaystyle j}$通常は以下のように表記される ： ${\displaystyle \eta ^{2}(j,F_{s})}$ このように、各階乗平面には、質的変数自体の表現を関連付けることができます。これらの変数の座標は0から1の間であり、頂点が点(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)である正方形の中に現れます。

6人（${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{6})}$3つの変数によって記述される${\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})}$それぞれ3、2、3のカテゴリーを持つ。例 ：個人${\displaystyle i_{1}}$以下のカテゴリーに属する${\displaystyle a}$の$q_1$、${\displaystyle d}$の$q2$そして${\displaystyle f}$の$q3$。

これらのデータにRパッケージFactoMineRに含まれるMCA関数を適用すると、図1のような古典的なグラフが得られます。

関係四角形（図2）は、古典的な階乗平面の読み取りを容易にします。これは次のことを示しています。

• 最初の要因は3つの変数に関連していますが、特に$q3$（第一軸に沿って非常に高い座標を持つもの）そして$q2$。
• 2番目の要因は、$q_1$そして$q3$（そして、$q2$軸2に沿った座標が0に等しい）であり、強力かつ均等な方法で。

これらはすべて従来の図表にも示されていますが、それほど明確ではありません。関係性四角形の役割は、まず従来の図表の読み取りを補助することです。これは、変数の数が多く、座標も多数ある場合に特に役立ちます。

この表現は、量的変数の表現で補完することができ、後者の座標は相関係数の二乗（相関比の二乗ではない）である。したがって、関係の二乗の2つ目の利点は、量的変数と質的変数を同時に表現できることにある。^{[ 1 ]}

関係性四角形は、表の個人×変数の因子分析から構築できます。特に、それは体系的に使用されます（または使用されるべきです）。

• 多重対応分析（MCA）において；^{[ 2 ]}
• 主成分分析（PCA）において、補助変数が多数存在する場合。
• 混合データの因子分析（FAMD）において。

この図を変数群に拡張したもの（変数群を単一の点でどのように表現するか ？）は、多因子分析（MFA）で使用されます。

質的変数自体を点（カテゴリではなく）で表すというアイデアは、ブリジット・エスコフィエによるものです。^{[ 3 ]}現在使用されている図は、ブリジット・エスコフィエとジェローム・パジェスによって多因子分析の枠組みの中で導入されました。^{[ 4 ]}

MCA（多変量解析）において、関係性四角形は混合変数間のつながりを総合的に把握できる指標であり、多くの変数が多数のカテゴリを持つ場合に特に有用です。この表現は、有効変数および／または補助変数を含む多数の混合変数が存在するあらゆる因子分析において役立ちます。

• FactoMineR ARは、探索的データ分析に特化したソフトウェアです。