振動解析におけるレイリー商

レイリー商は、質量と剛性行列がわかっている 多自由度振動システムの固有振動数を推定する簡単な方法を表します。

減衰や外力がない場合 の一般システムの固有値問題は 次のように帰着する。$${\displaystyle M\,{\ddot {\textbf {q}}}(t)+C\,{\dot {\textbf {q}}}(t)+K\,{\textbf {q}}(t)={\textbf {Q}}(t)}$$$${\displaystyle M\,{\ddot {\textbf {q}}}(t)+K\,{\textbf {q}}(t)=0}$$

前の式は次のようにも表すことができます。 ここで、 は固有振動数を表し、M と K はそれぞれ実数の正対称質量行列と剛性行列です。 $${\displaystyle K\,{\textbf {u}}=\lambda \,M\,{\textbf {u}}}$$${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}}$${\displaystyle \omega}$

n自由度システムの場合、方程式には次の方程式を満たす n 個の解があります。${\displaystyle \lambda_{m}}$${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$$${\displaystyle K\,{\textbf {u}}_{m}=\lambda _{m}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}$$

方程式の両辺に を掛けてスカラーで割ると、固有値問題を次のように表すことができます。m = 1, 2, 3, ..., n の場合。 ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}^{T}}$${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}^{T}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}$$${\displaystyle \lambda _{m}=\omega _{m}^{2}={\frac {{\textbf {u}}_{m}^{T}\,K\,{\textbf {u }}_{m}}{{\textbf {u}}_{m}^{T}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}}$$

前の式では、分子が位置エネルギーに比例し、分母が運動エネルギーの尺度を表していることもわかります。さらに、この式では、固有ベクトル（およびその他の変位ベクトル）がわかっている場合にのみ、固有振動数を計算できます。学術的な観点から、モーダルベクトルがわからない場合は、前述のプロセスを繰り返すことができますが、それぞれ と を と に置き換えます。そうすることで、レイリー商としても知られるスカラー が得られます。 ^[1]${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}}$${\displaystyle {\textbf {u}}}$${\displaystyle \lambda_{m}=\omega_{m}^{2}}$${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$${\displaystyle R({\textbf {u}})}$ $${\displaystyle R({\textbf {u}})=\lambda =\omega ^{2}={\frac {{\textbf {u}}^{T}\,K\,{\textbf {u}}}{{\textbf {u}}^{T}\,M\,{\textbf {u}}}}}$$

したがって、レイリー商は、その値がベクトルに依存するスカラーであり、モードベクトル（i = 1,2,3,..., n）から適度に離れている限り、任意のベクトルに対して良好な近似値で計算できます。 ${\displaystyle {\textbf {u}}}$${\displaystyle {\textbf {u}}}$${\displaystyle {\textbf {u}}_{i}}$

ベクトルはモーダル ベクトルと一次のわずかな量だけ異なると述べることができるため、レイリー商の正しい結果は推定値とそれほど大きくは異なりません。そのため、この方法は非常に便利です。最低のモーダル ベクトルを推定する良い方法は、ほとんどの構造で一般的にうまく機能しますが (保証はありませんが)、対角質量行列項の相対分布が同じである適用された力からの静的変位に等しいと仮定することです。後者は、次の 3-DOF の例で説明できます。 ${\displaystyle {\textbf {u}}}$${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$${\displaystyle (u_{1})}$${\displaystyle (u_{1})}$

例として、質量と剛性行列が次のようにわかっている 3 自由度システムを考えてみましょう。 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{bmatrix}}\;,\quad K={\begin{bmatrix}3&-1&0\\-1&3&-2\\0&-2&2\end{bmatrix}}}$$

最低の固有振動数を推定するために、質量に比例する力をシステムに負荷して得られる静的変位の試行ベクトルを選択します。 $${\displaystyle {\textbf {F}}=k{\begin{bmatrix}m_{1}\\m_{2}\\m_{3}\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}1\\1\\3\end{bmatrix}}}$$

したがって、試行ベクトルは レイリー商を計算できるようになります。 $${\displaystyle {\textbf {u}}=K^{-1}{\textbf {F}}={\begin{bmatrix}2.5\\6.5\\8\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle R={\frac {{\textbf {u}}^{T}\,K\,{\textbf {u}}}{{\textbf {u}}^{T}\,M\,{\textbf {u}}}}=\cdots =0.137214}$$

したがって、レイリー商によって計算された最低の固有振動数は、次のようになります。 $${\displaystyle w_{\text{Ray}}=0.370424}$$

計算ツールを使用すると、それが「実際」のものとどれだけ異なるかを確認するのに非常に迅速です。この場合、MATLAB を使用して、最低の固有振動数が次のように計算されました。これは、レイリー近似を使用したこと によるエラーにつながり、注目すべき結果です。${\displaystyle w_{\text{real}}=0.369308}$${\displaystyle 0.302315\%}$

この例では、レイリー商を使用して、最低の固有振動数を正確に推定できることを示しています。静的変位ベクトルは最低の振動モードに似ている傾向があるため、静的変位ベクトルを試行ベクトルとして使用する方法は有効です。