雨滴サイズ分布

雨滴サイズ分布( DSD )、または雨粒度分布は、雨滴の直径 (D) に応じた雨滴数の分布です。雨滴の形成には、水蒸気の凝縮、大きな雨滴への小さな雨滴の蓄積、およびサイズ間の衝突という 3 つのプロセスが関係します。雲内で過ごした時間、雲内での垂直方向の動き、および周囲の温度に応じて、雨滴は非常に多様な履歴を持ち、数マイクロメートルから数ミリメートルの直径の分布を持ちます。

一般に、雨滴サイズ分布は、直径0から雨滴の最大可能サイズまでの切断されたガンマ関数として表されます。 ^{[2] [3]}したがって、直径を持つ雨滴の数は： ${\displaystyle D}$

${\displaystyle N(D)=N_{0}D^{\mu }e^{-\Lambda D}}$

、およびは定数として扱われます。 ${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \Lambda}$

雨滴サイズ分布に関する最も有名な研究は、1948年にモントリオールのマギル大学で行われたマーシャルとパーマーによるものです。 ^[4]彼らは層状の雨を用いて、指数関数的な雨滴サイズ分布を導き出しました。このマーシャル・パーマー分布は次のように表されます。 ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle N(D)_{MP}=N_{0}e^{-\Lambda D}}$

どこ

• N ₀ = 8000 m ⁻³ mm ⁻¹  ;
• ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda}$= 4.1 R ^-0.21 mm ⁻¹ （文献^{[4]の41 R -0.21} cm ⁻¹に相当）、Rは層状降水量（ミリメートル/時）である。
• D = 雨滴の直径（mm）

_{N 0}の単位はcm ⁻⁴と簡略化されることもありますが、これにより、この値が空気 1 立方メートルあたりに計算されているという情報が失われます。

さまざまな降水（雨、雪、みぞれなど）と、それらを生み出すさまざまなタイプの雲は時間的および空間的に変化するため、液滴分布関数の係数はそれぞれの状況によって異なります。マーシャル-パーマーの関係は今でも最もよく引用されていますが、これは中緯度での多くの層状性降水イベントの平均であることを覚えておく必要があります。^[4]上の図は、層状性降水量と対流性降水量の平均分布を示しています。分布の線形部分は、マーシャル-パーマー分布の詳細で調整できます。下の図は、フロリダでのさまざまな降水量のいくつかの対流イベントにおける一連の液滴直径分布です。実験曲線は平均のものよりも複雑ですが、全体的な外観は同じであることがわかります。 ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda}$

そのため、気象学の文献には、粒子サイズを特定の事象に合わせてより正確に調整するための分布関数のさまざまな形式が見つかっています。研究者は時間の経過とともに、雨滴の分布は決定論的な関係というよりも、降水の種類に応じて異なる直径の雨滴を生成する確率の問題であることに気づきました。そのため、層状雨には曲線の連続体があり、対流雨には別の曲線の連続体があります。^[4]

マーシャルとパーマーの分布は指数関数を使用しており、非常に小さな直径の滴（上の図の曲線）を適切にシミュレートしていません。いくつかの実験により、これらの滴の実際の数は理論曲線よりも少ないことが示されています。Carlton W. Ulbrich は、D <1 mm の場合は滴が球形であり、D が大きくなるにつれて水平軸が平らになる楕円体であることを考慮して、1983 年にもっと一般的な式を開発しました。滴は大きな直径で壊れるため、D = 10 mm を超えることは機械的に不可能です。一般的な分布から、直径スペクトルは変化します。雲の内側では μ = 0 で、飽和状態のため小さな滴の蒸発は無視できますが、雲の外側では μ = 2 で、小さな滴は乾燥した空気にあるため蒸発します。前と同じ表記で、霧雨の Ulbrich 分布は次のようになります。^[3]

${\displaystyle N_{0}\mathrm {(cm^{-4-\mu })} =\left[{\frac {6}{\pi (\mu +3)!}}\right]\left( {\frac {M_{l}}{10^{-3}\rho _{e}}}\right)\Lambda ^{\mu +4}}$そして${\displaystyle \Lambda \mathrm {(cm^{-1})} ={\frac {3.67+\mu }{D_{0}}}}$

ここで、は液体の水分含有量、水の密度、0.2は霧雨の直径の平均値です。雨の場合、降雨量R（mm/h）を導入すると、標準表面上の1時間あたりの降雨量は次のようになります。^[3]${\displaystyle M_{l}}$${\displaystyle \rho_{e}}$${\displaystyle \scriptstyle D_{0}\approx }$

${\displaystyle D_{0}{(cm)}\approx 0.13R^{0.14}}$そして${\displaystyle N_{0}\mathrm {(cm^{-4-\mu })} \approx 6\times 10^{-2}\exp(3.2\times \mu )}$

この分布の最初の測定は、マーシャルの弟子であるパー​​マーが、小麦粉を敷いたボール紙を雨に短時間さらすという、かなり原始的な道具を使って行った。各滴が残す跡はその直径に比例するため、パーマーは各滴の大きさに対応する跡の数を数えることで、分布を判定することができた。これは第二次世界大戦直後のことである。

この分布をより正確に把握するために、さまざまなデバイスが開発されています。

• ディスドロメーター
• 改良型風プロファイラ

雲の中の雨滴の分布に関する知識は、気象レーダーで記録されたものと、地上で降水量として得られるものとを関連付けるために使用できます。レーダーエコーの反射率と、ディスドロメーターなどの装置で測定されたものとの関係を見つけることができます。

降雨量（R）は、粒子の数（ ）、その体積（）、および落下速度（ ）に等しい。 ${\displaystyle \scriptstyle N(D)}$${\displaystyle \scriptstyle \pi D^{3}/6}$${\displaystyle \scriptstyle v(D)}$

${\displaystyle R=\int _{0}^{Dmax}N(D)(\pi D^{3}/6)v(D)dD}$

レーダー反射率Z は、次のとおりです。

${\displaystyle Z_{rain}=|K_{rain}|^{2}\int _{0}^{Dmax}N(D)D^{6}dD\qquad }$ここでKは水の誘電率である。

ZとRは同様の定式化を持つので、方程式を解くと次のようなZRが得られる: ^[5]

${\displaystyle \,Z_{雨}=aR^{b}}$

ここで、a と b は、降水の種類（雨、雪、対流性降水（雷雨など）または層状降水（乱層雲など））に関係し、それぞれ、K、N ₀、およびが異なります。 ${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \scriptstyle v}$

この関係式で最もよく知られているのは、マーシャル・パーマーのZR関係式で、a = 200、b = 1.6となります。^[6]これは、中緯度における総観雨という非常に一般的なケースに当てはまるため、今でも最もよく使われている関係式の1つです。雪、暴風雨、熱帯雨などにも他の関係式が見つかっています。^[6]

• 雲滴有効半径
• 液体水分含有量
• 粒度分布