プロニー法

プロニー解析（プロニー法）は、 1795年にガスパール・リッシュ・ド・プロニーによって開発されました。しかし、この方法の実用化はデジタルコンピュータの登場を待たなければなりませんでした。 ^[1]フーリエ変換と同様に、プロニー法は均一にサンプリングされた信号から貴重な情報を抽出し、一連の減衰複素指数関数または減衰正弦波を構築します。これにより、信号の周波数、振幅、位相、減衰成分を推定できます。

を等間隔のサンプルからなる信号とする。プロニー法は関数を近似する。 ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})}$

を観測値に適用します。オイラーの公式を利用して何らかの操作を行うと、次の結果が得られ、項をより直接的に計算できるようになります。 ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(t)&=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i})\\&=\sum _{i=1}^{N}{\tfrac {1}{2}}A_{i}\left(e^{j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{+}t}+e^{-j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}^{-}t}\right),\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}}$システムの固有値であり、

${\displaystyle \sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}}$減衰部品は、

${\displaystyle \omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}}$角周波数成分である。

${\displaystyle \phi _{i}}$位相成分は、

${\displaystyle A_{i}}$は、級数の振幅成分であり、

${\displaystyle j}$は虚数単位（ ）です。${\displaystyle j^{2}=-1}$

プロニー法は、本質的には、次のプロセスを経て複素指数を持つ信号を分解するものです。 ${\displaystyle M}$

定期的にサンプリングし、サンプルの -番目が次のように書けるよう にします。${\displaystyle {\hat {f}}(t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle F_{n}={\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}\mathrm {B} _{m}e^{\lambda _{m}\Delta _{t}n},\quad n=0,\dots ,N-1.}$

が減衰正弦波で構成されている場合は、次のような複素指数関数のペアが存在する。 ${\displaystyle {\hat {f}}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{a}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j},\\\mathrm {B} _{b}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j},\\\lambda _{a}&=\sigma _{i}+j\omega _{i},\\\lambda _{b}&=\sigma _{i}-j\omega _{i},\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{a}e^{\lambda _{a}t}+\mathrm {B} _{b}e^{\lambda _{b}t}&={\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}+j\omega _{i})t}+{\tfrac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}-j\omega _{i})t}\\&=A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i}).\end{aligned}}}$

複素指数の和は線形差分方程式の同次解であるため、次の差分方程式が存在します。

${\displaystyle {\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}{\hat {f}}[\Delta _{t}(n-m)]P_{m},\quad n=M,\dots ,N-1.}$

プロニー法の鍵となるのは、差分方程式の係数が次の多項式に関連していることです。

${\displaystyle z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}=\prod _{m=1}^{M}\left(z-e^{\lambda _{m}}\right).}$

これらの事実から、プロニーの方法では次の 3 つのステップが導き出されます。

1) 次の値の行列方程式を構築して解きます。 ${\displaystyle P_{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{M}\\\vdots \\F_{N-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{M-1}&\dots &F_{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\F_{N-2}&\dots &F_{N-M-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\\vdots \\P_{M}\end{bmatrix}}.}$

の場合、値を見つけるために一般化された逆行列が必要になる場合があることに注意してください。 ${\displaystyle N\neq 2M}$${\displaystyle P_{m}}$

2) 値を見つけたら、多項式の根（必要であれば数値的に）を見つけます。 ${\displaystyle P_{m}}$

${\displaystyle z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}.}$

この多項式の -乗根は に等しくなります。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$

3)値の場合、値は値を解くために使用できる線形方程式のシステムの一部です。 ${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle \mathrm {B} _{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{k_{1}}\\\vdots \\F_{k_{M}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(e^{\lambda _{1}})^{k_{1}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\(e^{\lambda _{1}})^{k_{M}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{M}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathrm {B} _{1}\\\vdots \\\mathrm {B} _{M}\end{bmatrix}},}$

ここでは一意の値が使用されます。 より多くのサンプルが使用される場合は、一般化された逆行列を使用することが可能です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle M}$

を解くと曖昧さが生じることに注意する。なぜなら、 のみが解かれ、整数 のみが解かれたからである。これは、離散フーリエ変換が従うのと同じナイキスト標本化基準につながる。 ${\displaystyle \lambda _{m}}$${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$${\displaystyle e^{\lambda _{m}}=e^{\lambda _{m}\,+\,q2\pi j}}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (\lambda _{m})\right|=\left|\omega _{m}\right|<{\frac {\pi }{\Delta _{t}}}.}$

• 一般化された関数ペンシル法
• 自己回帰分析を用いたプロニー分解の計算
• 時間周波数解析におけるプロニー分解の応用