収益モデル

利益モデルは、ほとんどのコスト会計士が暗黙的に使用する線形の決定論的代数モデルです。利益は売上からコストを引いた値であることから始まり、材料、損失、複数製品、学習、減価償却などのコスト要素をモデル化する構造を提供します。スプレッドシート モデラーに可変の概念ベースを提供します。これにより、決定論的シミュレーションまたは「what if」モデリングを実行して、価格、コスト、数量の変化が収益性に与える影響を確認できます。

${\displaystyle \pi =pq-(F_{n}+wq)\,}$

どこ：

πは利益

pは販売価格です

F _{n は}固定費である

wは販売単位あたりの変動費である。

qは販売数量です

モデルの拡張については以下を参照してください。

利益を代数モデルとして表現したいという正当性は、 1961 年にMattessichによって示されています。

「一部のオペレーションアナリストにとって、最適値を決定するための計算なしに会計モデルを数学用語に翻訳することは、かなり平凡な作業に思えるかもしれません。しかし、会計方法が業界に受け入れられる限り、数学的定式化への単なる変更は、いくつかの理由から有利であると確信しています。(1) 特定の会計問題に電子データ処理を適用するための前提条件と見なすことができます。(2) 会計モデルの構造を明確にし、新しい観点から会計方法を明らかにして、これまで無視されたり注目されなかった多くの側面を明らかにします。(3) 多くの会計方法を一般的かつより科学的に提示できます。(4) 新しい分野の探求を容易にし、それによって会計の進歩を加速します。(5) より洗練された方法につながり、会計と経営科学の他の分野との緊密な協力の基礎を築くのに役立つ可能性があります。」^[1]

原価計算における定義のほとんどは不明瞭な物語形式であり、会計計算の他の定義と容易に関連付けることができません。たとえば、さまざまな在庫評価方法による在庫の固定費差異の比較を準備すると、混乱が生じる可能性があります。別の例としては、学習曲線の修正と在庫レベルの変化による労働差異のモデル化があります。代数形式の基本的な利益モデルがないため、このようなモデルを自信を持って開発することは困難です。

スプレッドシートの開発により、財務モデリングは分散化されました。その結果、モデル作成者はモデル構築のトレーニングを受けていないことが多くなりました。専門的なモデルを構築する前に、分析用の数学モデルを開発することから始めるのが賢明であると通常考えられています。利益モデルは、一般的なフレームワークと、そのような事前利益モデルの構築方法の具体的な例を提供します。

利益モデルを代数形式で提示することは目新しいことではありません。マテッシッチのモデル^[1]は大規模ではあるものの、学習曲線やさまざまな株式評価方法などの多くの原価計算手法を含んでいません。また、ほとんどの会計士が読みたいと思う、または読むことができる形式で提示されていませんでした。この論文では、利益を分析するより拡張されたモデルを提示していますが、マテッシッチとは異なり、貸借対照表モデルには拡張されていません。利益の基本定義から始めてより詳細にしていくというその形式は、会計士にとってより理解しやすいものになるかもしれません。

原価計算の教科書のほとんど^[2]は、基本的な原価-数量-利益モデルを代数形式で説明していますが、その後は「説明的」^[3]アプローチに戻っています。この「説明的」アプローチでは、管理会計の手順を説明するために例や物語を使用します。この形式は、人間とコミュニケーションをとるときには便利ですが、コンピュータモデルの構築に適した代数形式に変換するのは難しい場合があります。Mepham ^{[4] は、}原価計算の代数的、または演繹的アプローチを拡張して、さらに多くの手法をカバーしました。彼は、オペレーションズリサーチの最適化モデルと統合するモデルを開発しました。利益モデルは Mepham の研究から生まれたもので、それを拡張していますが、記述的で線形な形式のみです。

基本的な利益モデルは、売上からコストを差し引いたものです。売上は販売数量と価格の積で算出されます。コストは通常​​、固定費と変動費に分けられます。

使用方法:

• 売上高 = pq = 価格 × 販売数量
• 売上原価 = wq = 単位コスト × 販売数量
• 管理、販売、エンジニア、人員など = Fn = 製造後の固定諸経費
• 利益 = π

したがって、利益は次のように計算できます。

${\displaystyle \pi =pq-(F_{n}+wq)\qquad \qquad (1)}$

w (平均単位生産コスト) には固定費と変動費が含まれていることに注意してください。角括弧には売上原価 ( wq)が含まれており、製品の製造コストwxではありません(x = 売上原価)。

売上原価を表示するには、期首および期末の完成品在庫を含め​​る必要があります。利益モデルは次のようになります。

• 初期在庫 = g _o w = 初期在庫数量 × 単位コスト
• 在庫原価 = g ₁ w = 期末在庫数量 × 単位原価
• 生産コスト = wx = 単位生産コスト × 生産数量:

${\displaystyle \pi =pq-[F_{n}+wx+g_{0}w-g_{1}w]\qquad \qquad (2)}$

この形式で利益計算を提示すると、コストの一部をより慎重に定義する必要が直ちに生じます。

単位生産コスト（w）は固定費と変動費に分けることができます。

${\displaystyle w={\frac {F_{m}+vx}{x}}\qquad \qquad (3)}$

どこ

• F _m = 製造固定費;
• v = 単位あたりの変動コスト;
• x = 生産量。

wの分離を導入することで、生産のさまざまなレベルにおけるコストの挙動を考慮できるようになります。ここでは、定数 ( F ) とその傾き ( v ) に分割された線形コスト曲線が想定されています。モデル作成者が非線形コスト曲線の詳細にアクセスできる場合は、適切な関数によってw を定義する必要があります。

（式2）のwxを置き換えてF = F _n  +  F _mとすると、

${\displaystyle \pi =pq-[F+vx+g0w-g1w]\qquad \qquad (4)}$

基本モデルの他の拡張に移ると、直接材料、直接労働、変動間接費などのコスト要素を含めることができます。非線形関数が利用可能で、有用であると考えられる場合は、ここで使用されている関数の代わりにそのような関数を使用できます。

売上原価 = m * μ * q、ここで

m は完成品 1 単位に含まれる材料の量です。

μは原材料の単位あたりのコストです。

売上の労働コスト = l λ q、ここで

• lは 完成品1単位を作るのに必要な労働時間である。
• λは 1時間あたりの労働コスト（率）です。

変動間接費売上原価 = nq、ここでn はユニットあたりの変動間接費です。

ここでは、完成品単位あたりの数量と単位あたりのコストに細分化されていません。

したがって、変動コスト v * q は次のように表すことができます。

π = pq - [F+(mμ q + l λq + nq)] …………(式 5)

生産数量が必要な場合は、完成品在庫を追加する必要があります。

単純なケースでは、m * μ をもう 1 つ追加するだけで、モデルに 2 つの材料を収容できます。より現実的な状況では、行列とベクトルが必要になります (後述)。

製造材料費ではなく購入材料費を使用する場合は、材料在庫を調整する必要があります。つまり、

mx = md ₀ + mb - md ₁ …………（式6）

どこ

• d = 材料在庫量、
• 0 = 開く、1 = 閉じ、
• b = 購入した材料の数量
• m = 完成品1単位に含まれる材料の量
• x = 生産に使用される量

すべての減価償却ルールは、時間の経過に伴う曲線を表す方程式として表すことができます。減価償却法は、最も興味深い例の 1 つです。

c = コスト、t = 時間、L = 耐用年数、s = スクラップ価値、Fd = 時間ベースの減価償却を使用します。

Depr/yr = Fd = c (s/c)(tL)/L * [L(s/c)1/L] …………… (式 7)

この式は、次のルールとしてよく知られています。年間減価償却額 = 前年度の減価償却額に定数%を掛けたもの

制限は 0 < t < L であり、スクラップ値はゼロより大きくなければなりません。(ゼロの場合は 0.1 を使用します)。

時間ベースの減価償却は固定費であり、使用量ベースの減価償却は変動費になる可能性があることを覚えておくと、減価償却をモデルに簡単に追加できます (式 5)。

したがって、利益モデルは次のようになります。

π = pq - [F + F _d + (mμ + lλ + n + n _d )q]..........（式8）

ここで、nd = 使用量（q として）に基づく減価償却、π = 年間利益です。

上記では、完成品単位コスト「w」の値は未定義のままでした。在庫 (w) を評価する方法にはさまざまな選択肢がありますが、ここでは 2 つだけを比較します。

限界原価計算と総原価計算の議論には、在庫（w）の評価の問題が含まれます。

w = v とすべきか、それとも (3) w = (Fm + vx)/x とすべきか。

(i) 限界費用法ではw = vとなる。(4)に代入すると、

π = pq- [F + vx + g ₀ w ₀ - g ₁ w ₁ ]

なる

π = pq- [F + vx + g ₀ w ₀ - g ₁ v]

これは、vを取り出して、期首在庫量+生産量-期末在庫量=販売量(q)と記すことで簡略化できます。

π = pq - [F + vq]………….. (式 9)

注: vq = 変動売上原価。

(ii) 完全（吸収）原価計算を使用する (式3) を使用すると、xp = 計画生産量、x1 = 期間生産量 w = (Fm + v xp)/xp = Fm/xp + v となります。この結果は次のようになります。

π = pq - [F _n + F _m + vq + F _m /x _p * (qx ₁ )]…………..(式10)

モデルに「x」が奇妙に存在していることに注意してください。また、吸収モデル（式 10）は、最後の部分を除いて限界費用モデル（式 9）と同じであることにも注意してください。

F/x _p * (qx ₁ )

この部分は在庫の固定費を表しています。これはq — x = go—g1を覚えておくと分かりやすいので、次のように書くことができます。

F/x _p • (g ₀ —g ₁ )

_{g 0}と g _{1 の}代わりに 'q' と 'x' を使用したモデル形式を使用すると、売上高と生産量のみがわかっている場合でも利益を計算できます。

売上が増加し、その後減少し、生産量が一定である企業向けにスプレッドシートを作成できます。売上が増加し、生産量が一定である場合の利益を示す別の列を追加できます。これにより、固定費を在庫に持ち込む影響をシミュレートできます。このようなモデリングは、限界原価計算と総原価計算の議論において非常に役立つツールとなります。

損失をモデル化する 1 つの方法は、次のとおりです。

• 固定損失（数量）＝δf、
• 変動損失（％） = δv、
• 材料損失 = mδ、
• 生産損失 = pδ

これらの損失をすべて合わせたモデルは次のようになります。

π = vq – [F + μ * mδf + {mμ(1 + mδv) + lλ+n) * (1+ pδ* (q +pδf)].... (式 11)

労働損失および変動間接費損失も含まれる可能性があることに注意してください。

これまでのところ、モデルはごく少数の製品やコスト要素を想定してきました。多くの企業は複数の製品を扱っているため、使用するモデルはこの問題を処理できなければなりません。ここでの数学は単純ですが、導入される会計上の問題は膨大です。コスト配分の問題はその良い例です。その他の例としては、損益分岐点の計算、生産性の測定、限られたリソースの最適化などがあります。ここでは、多次元モデルを構築する仕組みについてのみ概説します。

企業が2つの製品（aとb）を販売する場合、利益モデル（式9）は、

π = pq —(F +vq) は

π = (pa *qa +pb *qb) - [F + va*qa + vb *qb]

すべての固定費はFにまとめられています

したがって、複数の製品について

π = Σ(pq) - [F + Σ(vq)].... (式 12)

ここでΣは合計です。これはスプレッドシートでベクトルまたは行列として表すことができます。

または

π = Σpq - [F + Σ(Σmμ + Σlλ + Σn)q].... (式 13)

利益モデルは、実際のデータ (c)、計画データ (p)、または計画コストでの実際の販売数量である標準データ (s) を表すことができます。

実際のデータ モデルは次のようになります (式 8 を使用)。

π = p _c *q _c - [F _c + (mμ _c + lλ _c + n _c )q _c ]

計画されているデータモデルは次のようになります（式8を使用）。

π = p _p *q _p - [F _p + (mμ _p + lλ _p + n _p )q _p ]

標準データモデルは次のようになります（式8を使用）。

π = p _p *q _c - [F _p + (mμ _p + lλ _p + n _p )q _c ]

運用差異は、標準モデルから実際のモデルを減算することによって得られます。

利益モデルに非線形コスト曲線を追加することも可能です。たとえば、学習により、製品の製造が増えるにつれて単位あたりの労働時間が指数関数的に減少する場合、単位あたりの時間は次のようになります。

l = r * q ^−b

ここで、r = 平均時間、b = 学習率、q = 量です。

式8に代入すると

π = pq - [F + (mμ + rq ^−b λ + n)q]

この方程式は、試行錯誤、ニュートン・ラプソン法、またはグラフ化によって最もよく解けます。モデル内の減価償却と同様に、学習の調整は非線形サブモデリングの形式を提供します。

変数は絶対量ではなく、パーセンテージの変化である可能性があります。これは、上記のモデルからのアプローチの大きな変更を表しています。このモデルは、「...（たとえば）人件費が10％上昇した」という形式でよく使用されます。このようなパーセンテージの変化のみを使用するモデルを開発できれば、絶対量を収集するコストが節約されます。^[5]

以下で使用されている表記法は、変数に%記号を付けてその変数の変化を示すものです。たとえば、販売価格が10%変化すると仮定すると、p% = 0.10となります。

x = q、C = 寄与とする

寄与モデルの絶対形式から始める（式（9）を整理すると）：

π + F = C = (p — v)q.

p、v、q の増加によって生じる寄与の増加は、次のように計算できます。

C(l + C%) = [p(l+p%)- v(l + v%)]q(l+q%)

整理してα = (p — v)/p を用いると、

C% = ((l+q%)/α)[p%-(l - α)v%]+q%...... (式18)

このモデルは複雑に見えるかもしれませんが、非常に強力です。特に変数の一部が変化しない場合は、データに対する要求がほとんどありません。上記のモデルのほとんどを、このパーセンテージ変化形式で開発することが可能です。

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• 財務の概要 § 財務モデリング

• Girardi, Dario; Giacomello, Bruno; Gentili, Luca (2011)。「予算編成モデルとシステムシミュレーション: 動的アプローチ」。SSRN電子ジャーナル。doi :10.2139/ssrn.1994453。S2CID 167656094  。
• Metcalfe M. および Powell P. (1994) 「管理会計: モデリングアプローチ」Addison Wesley、ウォキンガム。