Meixner-Pollaczek 多項式

数学において、メイクスナー・ポラチェク多項式は直交多項式 Pの族である。^(λ)
_n（x ,φ）はMeixner  （1934）によって導入され、変数の基本的な変換を除いてPollaczek多項式 Pと同じである。^λn
_...( x , a , b )は 、λ=1/2の場合に Pollaczek (1949)によって再発見され 、後に彼によって一般化されました。

これらは次のように定義されます

${\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{}_{2}F_{1}\left({\begin{array}{c}-n,~\lambda +ix\\2\lambda \end{array}};1-e^{-2i\phi }\right)}$

${\displaystyle P_{n}^{\lambda }(\cos \phi ;a,b)={\frac {(2\lambda )_{n}}{n!}}e^{in\phi }{ }_{2}F_{1}\left({\begin{array}{c}-n,~\lambda +i(a\cos \phi +b)/\sin \phi \\2\lambda \end{配列}};1-e^{-2i\phi }\right)}$

最初のいくつかのMeixner-Pollaczek多項式は

${\displaystyle P_{0}^{(\lambda )}(x;\phi )=1}$

${\displaystyle P_{1}^{(\lambda )}(x;\phi )=2(\lambda \cos \phi +x\sin \phi )}$

${\displaystyle P_{2}^{(\lambda )}(x;\phi )=x^{2}+\lambda ^{2}+(\lambda ^{2}+\lambda -x^{2})\cos(2\phi )+(1+2\lambda )x\sin(2\phi ).}$

メイクスナー・ポラチェク多項式P _m ^(λ) ( x ;φ)は重み関数に関して実数直線上で直交する。

${\displaystyle w(x;\lambda ,\phi )=|\Gamma (\lambda +ix)|^{2}e^{(2\phi -\pi )x}}$

そして直交関係は^{[1]で与えられる。}

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )P_{m}^{(\lambda )}(x;\phi )w(x;\lambda ,\phi )dx={\frac {2\pi \Gamma (n+2\lambda )}{(2\sin \phi )^{2\lambda }n!}}\delta _{mn},\quad \lambda >0,\quad 0<\phi <\pi .}$

メイクスナー・ポラチェク多項式の列は再帰関係を満たす^[2]

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}^{(\lambda )}(x;\phi )=2{\bigl (}x\sin \phi +(n+\lambda )\cos \phi {\bigr )}P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )-(n+2\lambda -1)P_{n-1}(x;\phi ).}$

メイクスナー・ポラチェク多項式はロドリゲス式^{[3]で与えられる。}

${\displaystyle P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )={\frac {(-1)^{n}}{n!\,w(x;\lambda ,\phi )}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}w\left(x;\lambda +{\tfrac {1}{2}}n,\phi \right),}$

ここでw ( x ;λ,φ)は上で与えられた重み関数である。

メイクスナー・ポラチェク多項式は生成関数^{[4]を持つ。}

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}P_{n}^{(\lambda )}(x;\phi )=(1-e^{i\phi }t)^{-\lambda +ix}(1-e^{-i\phi }t)^{-\lambda -ix}.}$

• ふるい分けされたポラチェク多項式

• ロエロフ・コエコーク。レスキー、ピーター A. Swarttouw、René F. (2010)、Hypergeometric orthogonal Polynomials and their q-analogues、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-642-05014-5、ISBN 978-3-642-05013-8、MR  2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010)、「Pollaczek Polynomials」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• Meixner, J. (1934)、「Orthogonale Polynomsysteme Mit Eyener Besonderen Gestalt Der Erzeugenden Funktion」、J. London Math.社会、s1-9 : 6–13、土井:10.1112/jlms/s1-9.1.6
• Pollaczek、Félix (1949)、「ルジャンドルの多ノーム一般化」、科学アカデミーの計算結果、228 : 1363–1365、MR  0030037