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数学において、完全格子（または完全形式）は、ユークリッドベクトル空間内の格子であり、Sのすべての点で値 1 を取る正定値二次形式が 1 つだけ存在するという意味で、その最小ベクトルの集合S によって完全に決定される。完全格子は、Korkine と Zolotareff (1877) によって導入された。強完全格子は、その最小ベクトルが球面 4 設計を形成する格子である。この概念は、Venkov (2001) によって導入された。
ボロノイ (1908) は、格子が極端となるのは、それが完全かつユータティックである場合のみであることを証明しました。
1、2、3、4、5、6、7、8 次元の完全格子の数は、1、1、1、2、3、7、33、10916 で与えられます ( OEISのシーケンスA004026 )。Conway と Sloane (1988) は、7 次元までの完全格子の特性をまとめています。Sikirić、Schürmann、Vallentin (2007) は、Martinet らによって発見された 8 次元の 10916 個の完全格子のリストが完全であることを確認しました。Riener (2006) は、8 次元のこれらの 10916 個の完全格子のうち、実際に極端格子であるのは 2408 個だけであることを証明しました。
参考文献
- コンウェイ、ジョン・ホートン、スローン、NJA (1988)、「低次元格子。III. 完全形」、ロンドン王立協会紀要。シリーズ A: 数学、物理、工学科学、418 (1854): 43–80、Bibcode :1988RSPSA.418...43C、doi :10.1098/rspa.1988.0073、ISSN 0962-8444、JSTOR 2398316、MR 0953277
- コルカイン。 Zolotareff (1877)、「Sur les formesquadratiquepositives」、Mathematische Annalen、11 (2): 242–292、doi :10.1007/BF01442667、ISSN 0025-5831
- Martinet、Jacques (2003)、ユークリッド空間の完全格子、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基礎]、vol. 327、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-662-05167-2、ISBN 978-3-540-44236-3、MR 1957723
- Riener、Cordian (2006)、「次元 8 の極端な形式について」、Journal de théorie des nombres de Bordeaux、18 (3): 677–682、doi : 10.5802/jtnb.565
- Sikirić, Mathieu Dutour; Schürmann, Achill; Vallentin, Frank (2007)、「8次元完全形式の分類」、アメリカ数学会電子研究発表、13 (3): 21–32、arXiv : math/0609388、doi :10.1090/S1079-6762-07-00171-0、ISSN 1079-6762、MR 2300003
- Venkov、Boris (2001)、「Réseaux et designs sphériques、Réseaux euclidiens、designs sphériques et formes modulaires」、Monographie de l'Enseignement Mathématique、37 : 10–86
- Voronoi, G. (1908)、「Nouvelles application des paramètres continuus à la théorie des formes quadratiques. Premier Mémoire: Sur quelques propriétés des formesquadratiquespositives parfaites」、Journal für die reine und angewandte Mathematik (フランス語)、1908 (133): 97–178、土井:10.1515/crll.1908.133.97、ISSN 0075-4102
外部リンク
- 8次元の完全格子のリスト